Semelhança de Triângulos
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Estudo dos casos de semelhança de triângulos, razões entre perímetros, áreas e propriedades métricas para estudantes.
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- Definição de triângulos semelhantes
- Dois triângulos são semelhantes se possuem os três ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos proporcionais.
- Constante de proporcionalidade (k)
- A razão entre a medida de qualquer lado de um triângulo e o lado homólogo do outro triângulo: a/a' = b/b' = c/c' = k.
- Caso de semelhança AA (Ângulo-Ângulo)
- Dois triângulos são semelhantes se possuem dois pares de ângulos correspondentes congruentes.
- Caso de semelhança LAL (Lado-Ângulo-Lado)
- Dois triângulos são semelhantes se possuem dois pares de lados proporcionais e o ângulo compreendido entre eles é congruente.
- Caso de semelhança LLL (Lado-Lado-Lado)
- Dois triângulos são semelhantes se possuem os três pares de lados homólogos correspondentes proporcionais.
- Razão entre perímetros de triângulos semelhantes
- A razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança k (2p / 2p' = k).
- Razão entre áreas de triângulos semelhantes
- A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança (A / A' = k²).
- Razão entre alturas homólogas
- A razão entre alturas relativas a lados homólogos é igual à razão de semelhança k (h / h' = k).
- Razão entre medianas homólogas
- A razão entre os comprimentos das medianas homólogas é igual à razão de semelhança k (m / m' = k).
- Razão entre bissetrizes internas homólogas
- A razão entre os comprimentos das bissetrizes internas homólogas é igual à razão de semelhança k (s / s' = k).
- Razão entre raios das circunferências circunscritas
- A razão entre os raios das circunferências circunscritas (R e R') é igual à razão de semelhança k (R / R' = k).
- Razão entre raios das circunferências inscritas
- A razão entre os raios das circunferências inscritas (r e r') é igual à razão de semelhança k (r / r' = k).
- Teorema Fundamental da Semelhança
- Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo que intercepta os outros dois lados determina um triângulo semelhante ao primeiro.
- Propriedade reflexiva da semelhança
- Todo triângulo é semelhante a si mesmo com razão de semelhança k = 1.
- Propriedade simétrica da semelhança
- Se o triângulo T1 é semelhante a T2 com razão k, então T2 é semelhante a T1 com razão 1/k.
- Propriedade transitiva da semelhança
- Se T1 é semelhante a T2 com razão k1, e T2 é semelhante a T3 com razão k2, então T1 é semelhante a T3 com razão k1 * k2.
- Segmento que une pontos médios (Base média)
- O segmento paralelo à base mede metade da base e forma um triângulo com razão k = 1/2 em relação ao original.
- Área do triângulo formado pela base média
- Como k = 1/2, a área do triângulo determinado pela base média vale (1/2)² = 1/4 da área do triângulo original.
- Teorema de Tales aplicado a triângulos
- Se uma reta paralela ao lado BC corta AB em D e AC em E, então AD/DB = AE/EC e AD/AB = AE/AC = DE/BC.
- Semelhança no triângulo retângulo pela altura relativa à hipotenusa
- A altura divide o triângulo retângulo em dois novos triângulos semelhantes entre si e semelhantes ao original.
- Relação métrica: cateto e projeção (b² = a * m)
- Decorre da semelhança entre o triângulo retângulo original e o triângulo retângulo menor formado pela altura.
- Relação métrica: cateto e projeção (c² = a * n)
- Decorre da semelhança entre o triângulo retângulo original e o triângulo retângulo intermediário.
- Relação métrica: altura e projeções (h² = m * n)
- Decorre da semelhança entre os dois triângulos menores formados pela altura relativa à hipotenusa.
- Relação métrica: produto dos catetos e hipotenusa (a * h = b * c)
- Decorre da proporção entre catetos e hipotenusas nos triângulos semelhantes com ângulos iguais.
- Se a razão de lados é k = 3, qual a razão dos perímetros?
- A razão entre os perímetros é igual a 3.
- Se a razão de lados é k = 3, qual a razão das áreas?
- A razão entre as áreas é k² = 3² = 9.
- Se a razão entre as áreas é 16, qual a razão entre os lados homólogos?
- A razão de semelhança linear é k = raiz quadrada de 16 = 4.
- Se a razão entre perímetros é 2/5, qual a razão entre as áreas?
- A razão de áreas é k² = (2/5)² = 4/25.
- O que acontece com a área se duplicarmos todos os lados de um triângulo?
- A área é quadruplicada, pois a razão de semelhança linear é k = 2 e a razão de áreas é 2² = 4.
- O que acontece com o perímetro se triplicarmos todos os lados?
- O perímetro é triplicado, pois a relação de proporcionalidade é linear (k = 3).
- Caso LAL: lados 4 e 6 com ângulo de 50° e lados 6 e 9 com ângulo de 50°
- São semelhantes, pois 4/6 = 6/9 = 2/3 e o ângulo entre eles é idêntico (50°).
- Caso LLL: triângulo com lados 3, 4, 5 e outro com 6, 8, 10
- São semelhantes pelo caso LLL, com constante de proporcionalidade k = 2 (ou 1/2).
- Dois triângulos equiláteros quaisquer são sempre semelhantes?
- Sim, pois todos possuem três ângulos de 60° (caso AA).
- Dois triângulos isósceles quaisquer são sempre semelhantes?
- Não necessariamente; só são semelhantes se tiverem o mesmo ângulo do vértice ou da base.
- Dois triângulos retângulos isósceles são sempre semelhantes?
- Sim, pois ambos possuem ângulos fixos de 90°, 45° e 45° (caso AA).
- Bissetriz interna e proporcionalidade de lados adjacentes
- O Teorema da Bissetriz Interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes: x/y = b/c.
- Se um triângulo tem lados multiplicados por k = 0,5, o perímetro diminui quanto?
- O novo perímetro será a metade (50%) do perímetro original.
- Se a área diminui para 1/9 do valor original, qual a razão das alturas?
- A razão das alturas é k = raiz(1/9) = 1/3 da altura original.
- Polígonos semelhantes decompostos em triângulos
- Dois polígonos semelhantes com razão k podem ser decompostos no mesmo número de triângulos semelhantes com razão k.
- Relação de semelhança entre trapézio e triângulo estendido
- Prolongando os lados não paralelos do trapézio, forma-se um triângulo menor semelhante ao triângulo total.
- Baricentro e razão de semelhança do triângulo medial
- O triângulo formado pelos pontos médios dos lados tem lados iguais a metade do original (k = 1/2).
- A razão de semelhança pode ser negativa?
- Geometricamente, k é uma medida escalar de comprimento estritamente positiva (k > 0).
- Congruência como caso particular de semelhança
- Triângulos congruentes são triângulos semelhantes cuja razão de semelhança é k = 1.
- Se os lados homólogos medem 5 cm e 15 cm, qual a razão entre os inraios?
- A razão entre os inraios é k = 5/15 = 1/3 (ou 3/1).
- Relação de áreas de triângulos com mesma altura e bases diferentes
- A razão das áreas é proporcional à razão das bases (A1/A2 = b1/b2), não sendo necessariamente semelhantes.
- Diferença entre triângulos equivalentes e semelhantes
- Triângulos equivalentes têm a mesma área; triângulos semelhantes têm mesma forma e proporção k² na área.
- Critério LAAo (Lado-Ângulo-Ângulo oposto)
- Dois triângulos são semelhantes se possuem proporção em um lado e igualdade no ângulo adjacente e oposto a esse lado.
- Razão de apótemas em triângulos equiláteros semelhantes
- A razão entre os apótemas de triângulos equiláteros é estritamente igual à razão linear de seus lados (k).
- Se a área de T1 é 50 cm² e T2 tem lados com o dobro do tamanho, qual a área de T2?
- Como k = 2, a área de T2 é 50 * 2² = 50 * 4 = 200 cm².
- Se T1 tem perímetro 18 cm e lados com 1/3 do tamanho de T2, qual o perímetro de T2?
- Como k = 3 para T2 em relação a T1, o perímetro de T2 é 18 * 3 = 54 cm.