Tabelas-Verdade e Tautologia

Cartões · 52

Negação (¬P)

Se 'Está chovendo' é verdade, sua negação 'Não está chovendo' é falsa. Inverte o valor lógico da proposição original.

Dupla negação (¬¬P ↔ P)

'Não é verdade que não fui à aula' equivale logicamente a afirmar categoricamente 'Eu fui à aula'.

Conjunção (P ∧ Q)

'Comprei pão e comprei leite' só é verdadeira se eu realmente tiver comprado ambos os itens na padaria.

Conjunção falsa (P ∧ Q quando um é falso)

'O sol é quente e a neve é preta' é uma sentença falsa porque basta que uma das partes seja mentira para anular o 'e'.

Disjunção inclusiva (P ∨ Q)

'Para a vaga, precisa-se de diploma ou experiência'. Ter um, outro ou ambos qualifica o candidato.

Disjunção inclusiva com ambos falsos

'Viajarei a Marte ou nadarei no Sol hoje'. Como nenhuma das duas ações ocorrerá, a afirmação inteira é falsa.

Disjunção exclusiva (P ⊻ Q)

'No almoço executivo, você ganha café ou sobremesa'. Escolher um impede de receber o outro sem custo adicional.

Condicional material (P → Q): antecedente V e consequente V

'Se você estudar, passará'. Você estudou e passou de ano, logo a promessa do professor foi cumprida.

Condicional material (P → Q): antecedente V e consequente F

'Se chover, levarei guarda-chuva'. Choveu, mas saí sem guarda-chuva; essa é a única situação em que a promessa se quebra.

Condicional material (P → Q): antecedente F

'Se eu for um unicórnio, o céu é verde'. Por partir de uma premissa falsa, a implicação é considerada vacuamente verdadeira.

Bicondicional (P ↔ Q)

'A lâmpada acende se e somente se o interruptor estiver ligado'. Ambos os estados precisam coincidir para ser verdade.

Bicondicional com valores opostos

'Um número é par se e somente se terminar em 3'. Como a relação falha, a declaração bicondicional é falsa.

Princípio do terceiro excluído (P ∨ ¬P)

'Ou esta porta está trancada, ou não está'. Não existe uma terceira opção na lógica binária tradicional.

Princípio da não-contradição ¬(P ∧ ¬P)

'É impossível que Pedro esteja vivo e morto ao mesmo tempo'. Uma proposição e sua negação não coexistem.

Tautologia trivial (P → P)

'Se hoje é segunda-feira, então hoje é segunda-feira'. Uma proposição sempre implica a si mesma.

Modus Ponens ((P → Q) ∧ P) → Q

Se vacinar protege e tomei a vacina, logo estou protegido. É um argumento válido que nunca leva ao erro.

Modus Tollens ((P → Q) ∧ ¬Q) → ¬P

Se o alarme tocou houve invasão; não houve invasão, logo o alarme com certeza não tocou.

Silogismo disjuntivo ((P ∨ Q) ∧ ¬P) → Q

A chave está na bolsa ou na mesa; olhei e não está na bolsa, portanto está na mesa.

Silogismo hipotético ((P → Q) ∧ (Q → R)) → (P → R)

Se treino corro melhor; se corro melhor ganho a prova; logo, se treino ganho a prova.

Lei de De Morgan: ¬(P ∧ Q) ↔ (¬P ∨ ¬Q)

Negar 'comi bolo e sorvete' significa que ao menos um não foi comido: 'não comi bolo ou não comi sorvete'.

Lei de De Morgan: ¬(P ∨ Q) ↔ (¬P ∧ ¬Q)

Negar 'bebo chá ou café' significa rejeitar ambos: 'não bebo chá e não bebo café'.

Contraposição ((P → Q) ↔ (¬Q → ¬P))

'Se é carioca, é brasileiro' equivale exatamente a dizer 'Se não é brasileiro, não pode ser carioca'.

Equivalência condicional (P → Q) ↔ (¬P ∨ Q)

'Se pagar a conta, terá luz' equivale a 'Ou você não paga a conta, ou você tem serviço de luz'.

Negação do condicional ¬(P → Q) ↔ (P ∧ ¬Q)

Dizer que 'Se prometer, cumpro' é mentira significa que: 'Você prometeu e não cumpriu'.

Idempotência da conjunção (P ∧ P ↔ P)

'Está frio e está frio' transmite exatamente o mesmo valor informativo que apenas dizer 'Está frio'.

Idempotência da disjunção (P ∨ P ↔ P)

'Chove ou chove' é semanticamente e logicamente idêntico a dizer unicamente 'Chove'.

Comutatividade da conjunção (P ∧ Q ↔ Q ∧ P)

'Trouxe caneta e caderno' é totalmente equivalente a afirmar 'Trouxe caderno e caneta'.

Comutatividade da disjunção (P ∨ Q ↔ Q ∨ P)

'Aceitamos cartão ou dinheiro' possui a mesma validade de 'Aceitamos dinheiro ou cartão'.

Absorção: P ∧ (P ∨ Q) ↔ P

'Tenho um carro e (tenho um carro ou um barco)'. Se a primeira parte é verdade, o todo depende só de ter carro.

Absorção: P ∨ (P ∧ Q) ↔ P

'Vou à praia ou (vou à praia e tomo sorvete)'. Basta você ir à praia para toda a afirmação ser verdadeira.

Dilema construtivo

Se chover levo capa e se fizer sol levo boné; como vai chover ou fazer sol, levarei capa ou boné.

Dilema destrutivo

Se corro canso, se grito fico rouco; não estou cansado ou não estou rouco, logo não corri ou não gritei.

Adição disjuntiva (P → (P ∨ Q))

Se sei que 'Tenho 10 reais', posso afirmar categoricamente com verdade que 'Tenho 10 reais ou sou milionário'.

Simplificação conjuntiva ((P ∧ Q) → P)

Se é verdade que 'Tenho carro e casa', então é logicamente inescapável deduzir que 'Tenho carro'.

Transitividade da equivalência ((P ↔ Q) ∧ (Q ↔ R)) → (P ↔ R)

Se água congela a 0°C e 0°C é 32°F, então a água congela a 0°C se e só se estiver a 32°F.

Exportação/Importação ((P ∧ Q) → R) ↔ (P → (Q → R))

'Se comprar o ingresso e for ao cinema, verá o filme' equivale a 'Se comprar, então se for ao cinema, verá'.

Lei do absurdo (Reductio ad absurdum)

Se supor que o réu é culpado leva a uma impossibilidade física, conclui-se com certeza que ele é inocente.

Distributividade de ∧ sobre ∨

Estudo e (trabalho ou descanso) equivale a dizer: 'Estudo e trabalho, ou estudo e descanso'.

Distributividade de ∨ sobre ∧

Almoço ou (janto e durmo) equivale a dizer: '(Almoço ou janto) e (almoço ou durmo)'.

Tautologia: (P ∧ Q) → (P ∨ Q)

Se João é médico e professor, é garantido dizer que João é médico ou professor.

Contradição eliminada em condicional (Contradição → Qualquer coisa)

Ex falso quodlibet: de uma contradição lógica aceita como premissa, qualquer absurdo se torna deduzível.

Resolução lógica ((P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ R)) → (Q ∨ R)

Vou ao mercado ou feira; não vou ao mercado ou compro peixe. Logo, vou à feira ou compro peixe.

Equivalência de bicondicional ((P ↔ Q) ↔ ((P → Q) ∧ (Q → P)))

Dizer que x cresce se e só se y crescer significa: se x cresce y cresce, e se y cresce x cresce.

Elemento neutro da conjunção (P ∧ Verdade ↔ P)

Afirmar 'O gato mia e 2+2=4' depende puramente da veracidade do gato miar, já que a matemática é garantida.

Elemento absorvente da disjunção (P ∨ Verdade ↔ Verdade)

'Vou errar o teste ou a Terra é redonda'. Como o segundo termo é verdade absoluta, a frase inteira já é verdadeira.

Elemento absorvente da conjunção (P ∧ Falso ↔ Falso)

'Ganhei na loteria e círculos são quadrados'. Não importa se ganhei, o absurdo geométrico torna a sentença falsa.

Elemento neutro da disjunção (P ∨ Falso ↔ P)

'Choveu hoje ou vacas voam'. Como vacas voarem é falso, a frase toda depende exclusivamente de ter chovido.

Tautologia: P → (Q → P)

'Se está calor, então mesmo que chova continuará fazendo calor em relação à afirmação original'.

Tautologia: ¬P → (P → Q)

Se Pedro não viajou, afirmar hipoteticamente que 'Se Pedro viajou, comprou doces' é verdadeiro por vacuidade.

Negação da bicondicional ¬(P ↔ Q) ↔ (P ⊻ Q)

Negar que duas pessoas têm idades idênticas significa dizer que exatamente uma delas é mais velha.

Lei de Clavius ((¬P → P) → P)

Se admitir que a prova não existe força concluir que ela existe, então a prova indubitavelmente existe.

Conjunção com a negação ((P ∧ ¬P) → Q)

Uma declaração autocontraditória implica formalmente qualquer consequente desejado em lógica clássica.