Álgebra Básica

Cartões · 50

Equação linear simples: ax + b = c

Exemplo 2x + 4 = 10. Subtraia 4 de ambos os lados: 2x = 6. Divida por 2: x = 3.

Propriedade distributiva: a(b + c) = ab + ac

Exemplo 3(x + 4). Multiplique 3 por x e 3 por 4: 3*x + 3*4 = 3x + 12.

Fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Exemplo x² - 5x + 6 = 0. a=1, b=-5, c=6. Δ = 25 - 24 = 1. x = (5 ± 1) / 2, logo x = 3 ou x = 2.

Discriminante da quadrática: Δ = b² - 4ac

Exemplo x² + 2x + 5 = 0. Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16. Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais.

Vértice da parábola: Xv = -b / (2a)

Exemplo f(x) = x² - 4x + 3. Xv = -(-4) / (2*1) = 4 / 2 = 2. O vértice ocorre em x = 2.

Vértice da parábola: Yv = -Δ / (4a)

Exemplo f(x) = x² - 4x + 3. Δ = 16 - 12 = 4. Yv = -4 / (4*1) = -1. O ponto mínimo é (2, -1).

Quadrado da soma: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemplo (x + 3)². Quadrado do primeiro (x²), mais duas vezes o produto (2*x*3 = 6x), mais quadrado do segundo (9): x² + 6x + 9.

Quadrado da diferença: (a - b)² = a² - 2ab + b²

Exemplo (2x - 5)². (2x)² - 2(2x)(5) + 5² = 4x² - 20x + 25.

Produto da soma pela diferença: (a + b)(a - b) = a² - b²

Exemplo (x + 7)(x - 7). Aplica-se a diferença de quadrados: x² - 7² = x² - 49.

Fatoração por termo comum em evidência: ab + ac = a(b + c)

Exemplo 6x² + 9x. O MDC entre os termos é 3x. Fatorando: 3x(2x + 3).

Fatoração por agrupamento: ax + ay + bx + by

Exemplo x³ + 2x² + 3x + 6 = x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x² + 3)(x + 2).

Diferença de dois quadrados: a² - b² = (a - b)(a + b)

Exemplo 4x² - 9. Como 4x² = (2x)² e 9 = 3², a forma fatorada é (2x - 3)(2x + 3).

Soma das raízes de ax² + bx + c = 0 (Relação de Girard): S = -b/a

Exemplo 2x² - 8x + 6 = 0. A soma das raízes é -(-8)/2 = 8/2 = 4.

Produto das raízes de ax² + bx + c = 0 (Relação de Girard): P = c/a

Exemplo 2x² - 8x + 6 = 0. O produto das raízes é 6/2 = 3.

Produto de potências de mesma base: a^m * a^n = a^(m+n)

Exemplo x³ * x⁵. Mantém-se a base x e somam-se os expoentes: x^(3+5) = x⁸.

Divisão de potências de mesma base: a^m / a^n = a^(m-n)

Exemplo y⁷ / y² = y^(7-2) = y⁵.

Potência de potência: (a^m)^n = a^(m*n)

Exemplo (x⁴)³ = x^(4*3) = x¹².

Expoente negativo: a^(-n) = 1 / a^n

Exemplo 2^(-3) = 1 / (2³) = 1/8.

Expoente fracionário: a^(m/n) = n√(a^m)

Exemplo 8^(2/3) = raiz cúbica de 8² = raiz cúbica de 64 = 4.

Potência com expoente zero: a^0 = 1 (para a ≠ 0)

Exemplo (5x)⁰ = 1, desde que x seja diferente de zero.

Multiplicação de radicais de mesmo índice: √a * √b = √(a*b)

Exemplo √3 * √12 = √(3 * 12) = √36 = 6.

Divisão de radicais de mesmo índice: √a / √b = √(a/b)

Exemplo √50 / √2 = √(50/2) = √25 = 5.

Racionalização de denominadores simples: 1 / √a

Exemplo 6 / √3. Multiplique numerador e denominador por √3: (6√3) / (√3*√3) = 6√3 / 3 = 2√3.

Racionalização com conjugado: 1 / (√a - b)

Exemplo 2 / (√5 - 1). Multiplique pelo conjugado (√5 + 1): 2(√5 + 1) / (5 - 1) = 2(√5 + 1) / 4 = (√5 + 1) / 2.

Inequação linear: inverter sinal ao multiplicar por negativo

Exemplo -3x < 9. Divida por -3 e inverta a desigualdade: x > 9 / (-3), portanto x > -3.

Sistemas lineares por substituição: y = f(x)

Exemplo x + y = 5 e 2x - y = 1. Da primeira equação: y = 5 - x. Substitua na segunda: 2x - (5 - x) = 1 -> 3x = 6 -> x = 2; então y = 3.

Sistemas lineares por adição: eliminar variáveis

Exemplo x + y = 6 e x - y = 2. Some as duas equações: 2x = 8 -> x = 4. Logo, 4 + y = 6 -> y = 2.

Equação modular básica: |x| = k (k ≥ 0)

Exemplo |2x - 1| = 5. Duas soluções: 2x - 1 = 5 -> 2x = 6 -> x = 3; ou 2x - 1 = -5 -> 2x = -4 -> x = -2.

Inequação modular: |x| < a

Exemplo |x - 3| < 2. Desdobre em -2 < x - 3 < 2. Some 3 em todos os lados: 1 < x < 5.

Definição de logaritmo: log_b(a) = c <=> b^c = a

Exemplo log₂(32) = x. Pela definição, 2^x = 32. Como 32 = 2⁵, temos x = 5.

Logaritmo do produto: log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y)

Exemplo log(2) + log(50) = log(2 * 50) = log(100) = 2.

Logaritmo do quociente: log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Exemplo log₂(24) - log₂(3) = log₂(24 / 3) = log₂(8) = 3.

Logaritmo da potência: log_b(x^k) = k * log_b(x)

Exemplo log₃(9⁴) = 4 * log₃(9). Como log₃(9) = 2, o resultado é 4 * 2 = 8.

Mudança de base de logaritmo: log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)

Exemplo calcular log₄(8). Usando base 2: log₂(8) / log₂(4) = 3 / 2 = 1,5.

Termo geral da PA: an = a1 + (n - 1)r

Exemplo achar o 10º termo da PA (2, 5, 8...). a1=2, r=3. a10 = 2 + (10 - 1)*3 = 2 + 27 = 29.

Soma dos termos da PA: Sn = (a1 + an) * n / 2

Exemplo somar os 10 primeiros termos onde a1=2 e a10=29. S10 = (2 + 29) * 10 / 2 = 31 * 5 = 155.

Termo geral da PG: an = a1 * q^(n - 1)

Exemplo achar o 5º termo da PG (3, 6, 12...). a1=3, q=2. a5 = 3 * 2^(5 - 1) = 3 * 16 = 48.

Soma dos termos de uma PG finita: Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)

Exemplo PG (1, 2, 4, 8). a1=1, q=2, n=4. S4 = 1 * (2⁴ - 1) / (2 - 1) = (16 - 1) / 1 = 15.

Soma da PG infinita (|q| < 1): S = a1 / (1 - q)

Exemplo 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... a1 = 1/2 e q = 1/2. S = (1/2) / (1 - 1/2) = (1/2) / (1/2) = 1.

Fórmula da inclinação de reta (coeficiente angular): m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Exemplo pontos (1, 2) e (3, 8). m = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.

Equação fundamental da reta: y - y0 = m(x - x0)

Exemplo ponto (2, 5) e m = 3. y - 5 = 3(x - 2) -> y - 5 = 3x - 6 -> y = 3x - 1.

Cubo da soma: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Exemplo (x + 2)³. x³ + 3(x²)(2) + 3(x)(2²) + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8.

Cubo da diferença: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Exemplo (x - 1)³. x³ - 3(x²)(1) + 3(x)(1²) - 1³ = x³ - 3x² + 3x - 1.

Soma de cubos: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Exemplo x³ + 8 = x³ + 2³. Fatorando: (x + 2)(x² - 2x + 4).

Diferença de cubos: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Exemplo x³ - 27 = x³ - 3³. Fatorando: (x - 3)(x² + 3x + 9).

Composição de funções: (f ∘ g)(x) = f(g(x))

Exemplo f(x) = 2x + 1 e g(x) = x². f(g(x)) = f(x²) = 2(x²) + 1 = 2x² + 1.

Cálculo da função inversa: f⁻¹(x)

Exemplo y = 3x - 2. Troque as variáveis: x = 3y - 2. Isole y: 3y = x + 2 -> y = (x + 2)/3. Logo f⁻¹(x) = (x + 2)/3.

Equação exponencial elementar: a^x = a^y => x = y

Exemplo 2^(x + 1) = 16. Como 16 = 2⁴, igualamos expoentes: x + 1 = 4 -> x = 3.

Determinante de matriz 2x2: det = ad - bc

Exemplo matriz [[3, 2], [1, 4]]. det = (3 * 4) - (2 * 1) = 12 - 2 = 10.

Teorema do Resto: resto de P(x) por (x - a) é P(a)

Exemplo P(x) = x³ - 2x + 4 dividido por (x - 2). Resto = P(2) = 2³ - 2(2) + 4 = 8 - 4 + 4 = 8.