Álgebra Básica: Potências e Raízes

Cartões · 52

Potenciação: Definição básica

Multiplicação repetida de uma base a por si mesma n vezes (a^n). Exemplo: 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8.

Potência com expoente 1

Qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo (a^1 = a). Exemplo: 7^1 = 7.

Potência com expoente zero

Qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1 (a^0 = 1, a ≠ 0). Exemplo: 99^0 = 1.

Produto de potências de mesma base

Mantém-se a base e somam-se os expoentes: a^m * a^n = a^(m + n). Exemplo: 3^2 * 3^4 = 3^6 = 729.

Divisão de potências de mesma base

Mantém-se a base e subtraem-se os expoentes: a^m / a^n = a^(m - n). Exemplo: 5^5 / 5^2 = 5^3 = 125.

Potência de potência

Mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes: (a^m)^n = a^(m * n). Exemplo: (2^3)^2 = 2^6 = 64.

Potência de um produto

Cada fator é elevado individualmente ao expoente: (a * b)^n = a^n * b^n. Exemplo: (2 * 5)^2 = 2^2 * 5^2 = 100.

Potência de um quociente

Numerador e denominador são elevados ao expoente: (a / b)^n = a^n / b^n. Exemplo: (3/4)^2 = 9/16.

Potência com expoente negativo

Inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente: a^(-n) = 1 / a^n (a ≠ 0). Exemplo: 2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8.

Fração com expoente negativo

Inverte-se a fração e torna-se o expoente positivo: (a/b)^(-n) = (b/a)^n. Exemplo: (2/3)^(-2) = (3/2)^2 = 9/4.

Base negativa com expoente par

O resultado de uma base negativa elevada a expoente par é sempre positivo: (-a)^(par) > 0. Exemplo: (-3)^2 = 9.

Base negativa com expoente ímpar

O resultado mantém o sinal negativo da base: (-a)^(ímpar) < 0. Exemplo: (-2)^3 = -8.

Diferença entre (-a)^n e -a^n

Em (-a)^n o sinal faz parte da base; em -a^n o sinal antecede o resultado. Exemplo: (-3)^2 = 9, mas -3^2 = -9.

Potência de base 10

O expoente positivo indica o número de zeros após o 1: 10^n = 1 seguido de n zeros. Exemplo: 10^4 = 10.000.

Potência de base 10 com expoente negativo

O expoente indica o número de casas decimais: 10^(-n) = 0,0...1 (n casas). Exemplo: 10^(-3) = 0,001.

Radiciação: Definição básica

Operação inversa da potenciação: raiz n-ésima de a é b se b^n = a (n√a = b). Exemplo: 3√27 = 3 porque 3^3 = 27.

Termos da radiciação

Em n√a: n é o índice, o símbolo √ é o radical e a é o radicando. Exemplo: em 3√8, 3 é o índice e 8 é o radicando.

Expoente fracionário

Transformação entre raiz e potência: a^(m/n) = n√(a^m). Exemplo: 4^(1/2) = √4 = 2 e 8^(2/3) = 3√(8^2) = 4.

Produto de radicais com mesmo índice

Multiplicam-se os radicandos sob o mesmo radical: n√a * n√b = n√(a * b). Exemplo: √2 * √8 = √16 = 4.

Quociente de radicais com mesmo índice

Dividem-se os radicandos sob o mesmo radical: n√a / n√b = n√(a / b). Exemplo: √50 / √2 = √25 = 5.

Raiz de uma potência

Pode-se elevar a raiz ou o radicando: (n√a)^m = n√(a^m). Exemplo: (√4)^3 = √(4^3) = √64 = 8.

Raiz de uma raiz

Multiplicam-se os índices dos radicais: m√(n√a) = (m*n)√a. Exemplo: 3√(√64) = 6√64 = 2.

Simplificação de radicais por divisão de índice

Divide-se o índice e o expoente pelo MDC comum: n*p√(a^(m*p)) = n√(a^m). Exemplo: 6√(2^4) = 3√(2^2) = 3√4.

Extração de fatores do radicando

Fatores com expoente igual ao índice saem do radical: n√(a^n * b) = a * n√b. Exemplo: √12 = √(2^2 * 3) = 2√3.

Introdução de fator no radicando

Eleva-se o fator externo ao índice do radical: a * n√b = n√(a^n * b). Exemplo: 3 * √2 = √(3^2 * 2) = √18.

Radical aritmético de índice par

Se o índice for par, o radicando deve ser maior ou igual a zero no conjunto real: n√a ∈ R se a ≥ 0. Exemplo: √(-4) ∉ R.

Radical de índice ímpar com radicando negativo

É definido nos reais e tem resultado negativo: n√(-a) = -n√a (n ímpar). Exemplo: 3√(-8) = -2.

Racionalização de denominador simples

Multiplica-se numerador e denominador pelo radical do denominador: c / √a = (c√a) / a. Exemplo: 1 / √2 = √2 / 2.

Racionalização com conjugado

Multiplica-se pelo conjugado usando (a+b)(a-b) = a^2 - b^2: c / (√a + b). Exemplo: 1/(√3 - 1) = (√3 + 1)/2.

Monômio: Definição

Expressão algébrica formada pelo produto de um número por uma ou mais variáveis com expoentes inteiros não negativos. Exemplo: 5x^2y.

Coeficiente de um monômio

É o fator numérico que multiplica a parte literal. Exemplo: no monômio -7x^3y, o coeficiente numérico é -7.

Parte literal de um monômio

Conjunto formado pelas variáveis e seus respectivos expoentes. Exemplo: no monômio 4a^2b^3, a parte literal é a^2b^3.

Monômio constante

Número real puro sem variáveis expressas; tem grau zero se não for nulo. Exemplo: 12 é um monômio com parte literal x^0.

Monômio nulo

O número 0; não possui grau definido. Exemplo: 0x^2 = 0.

Grau de um monômio em relação a uma variável

O expoente dessa variável específica no monômio. Exemplo: em 3x^4y^2, o grau em relação a x é 4.

Grau absoluto de um monômio

Soma de todos os expoentes das variáveis da parte literal. Exemplo: 5x^3y^2 tem grau 3 + 2 = 5.

Monômios semelhantes (ou termos semelhantes)

Monômios que possuem exatamente a mesma parte literal. Exemplo: 4x^2y e -9x^2y são semelhantes.

Monômios não semelhantes

Monômios que diferem em ao menos uma variável ou expoente da parte literal. Exemplo: 3x^2y e 3xy^2 não são semelhantes.

Adição de monômios semelhantes

Somam-se os coeficientes e mantém-se a parte literal: ax + bx = (a + b)x. Exemplo: 3x^2 + 5x^2 = 8x^2.

Subtração de monômios semelhantes

Subtraem-se os coeficientes e mantém-se a parte literal: ax - bx = (a - b)x. Exemplo: 7ab - 2ab = 5ab.

Adição de monômios não semelhantes

Não podem ser fundidos em um único monômio; formam um polinômio. Exemplo: 2x + 3y permanece 2x + 3y.

Multiplicação de monômios

Multiplicam-se coeficientes entre si e somam-se expoentes de variáveis iguais. Exemplo: (2x^2y) * (4xy^3) = 8x^3y^4.

Divisão de monômios

Dividem-se coeficientes entre si e subtraem-se expoentes de variáveis iguais. Exemplo: (12x^5) / (3x^2) = 4x^3.

Potenciação de monômios

Eleva-se o coeficiente à potência e multiplicam-se os expoentes das letras: (a*x^n)^m = a^m * x^(n*m). Exemplo: (3x^2)^3 = 27x^6.

Radiciação de monômios

Extrai-se a raiz do coeficiente e divide-se cada expoente literal pelo índice: √(a*x^n). Exemplo: √(16x^4) = 4x^2.

Monômio com coeficiente 1 implícito

Quando nenhuma constante numérica aparece à frente, o coeficiente é 1. Exemplo: x^3 equivale a 1x^3.

Monômio com coeficiente -1 implícito

Quando apenas o sinal de menos antecede as variáveis, o coeficiente é -1. Exemplo: -xy equivale a -1xy.

Monômios opostos ou simétricos

Monômios com mesma parte literal e coeficientes simétricos; soma resulta em 0. Exemplo: 6x^2 e -6x^2.

Valor numérico de um monômio

Resultado obtido ao substituir as variáveis por valores numéricos reais dados. Exemplo: se x=2 em 3x^3, o valor é 3*(8) = 24.

Propriedade distributiva aplicada a monômios

Multiplicação de um monômio por um polinômio termo a termo: a*(b + c) = ab + ac. Exemplo: 2x*(x + 3) = 2x^2 + 6x.

Redução de termos semelhantes

Processo de somar ou subtrair monômios semelhantes para simplificar uma expressão. Exemplo: 4x + 2y - x + 5y = 3x + 7y.

Condição para divisão exata de monômios

O divisor não pode ter variáveis ausentes no dividendo nem expoentes maiores que este. Exemplo: (6x^2)/(2x^3) = 3/x (fração algébrica).