Álgebra Linear: Vetores

Cartões · 52

Espaço Vetorial (Definição)

Conjunto V não vazio munido de adição e multiplicação por escalar sobre um corpo K que satisfaz oito axiomas fundamentais.

Vetor

Qualquer elemento pertencente a um espaço vetorial abstrato V.

Escalar

Elemento pertencente ao corpo base K (comumente R ou C) sobre o qual o espaço vetorial é estruturado.

Axioma: Comutatividade da adição

Para quaisquer vetores u e v em V, u + v = v + u.

Axioma: Associatividade da adição

Para quaisquer vetores u, v e w em V, (u + v) + w = u + (v + w).

Axioma: Vetor nulo (Elemento neutro da adição)

Existe um vetor 0 em V tal que v + 0 = v para qualquer vetor v em V.

Axioma: Vetor oposto (Elemento simétrico da adição)

Para cada v em V, existe -v em V tal que v + (-v) = 0.

Axioma: Distributividade em relação à soma de vetores

Para todo escalar a em K e vetores u, v em V, a(u + v) = au + av.

Axioma: Distributividade em relação à soma de escalares

Para todos escalares a, b em K e vetor v em V, (a + b)v = av + bv.

Axioma: Compatibilidade da multiplicação por escalar

Para escalares a, b em K e v em V, a(bv) = (ab)v.

Axioma: Identidade escalar

Para o elemento neutro multiplicativo 1 de K, 1v = v para todo v em V.

Subespaço Vetorial

Subconjunto W de V que contém o vetor nulo e é fechado sob a adição vetorial e a multiplicação por escalar.

Critério de Subespaço Vetorial

W é subespaço se não é vazio e, para quaisquer u, v em W e a em K, u + v pertence a W e au pertence a W.

Subespaço Trivial

Os subespaços formados apenas pelo vetor nulo {0} e pelo próprio espaço vetorial V.

Interseção de Subespaços

A interseção de qualquer coleção de subespaços de V é sempre um subespaço vetorial de V.

União de Subespaços

A união de dois subespaços só é um subespaço vetorial se um deles estiver contido no outro.

Soma de Subespaços

Conjunto U + W formado por todos os vetores da forma u + w, onde u pertence a U e w pertence a W.

Soma Direta de Subespaços

Soma U + W denotada por U ⊕ W em que a interseção entre U e W contém unicamente o vetor nulo.

Subespaços Suplementares (Complementares)

Subespaços U e W de V tais que V é a soma direta de U e W (V = U ⊕ W).

Combinação Linear

Vetor v obtido pela expressão c1*v1 + c2*v2 + ... + ck*vk, onde c_i são escalares e v_i são vetores.

Subespaço Gerado (Span)

Conjunto de todas as combinações lineares possíveis de um subconjunto S de vetores de V.

Conjunto Gerador

Subconjunto S de V tal que todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear finita de elementos de S.

Independência Linear (LI)

Propriedade em que a equação c1*v1 + ... + ck*vk = 0 implica necessariamente que todos os escalares c_i são zero.

Dependência Linear (LD)

Propriedade em que existe combinação linear nula c1*v1 + ... + ck*vk = 0 com pelo menos um escalar não nulo.

Critério de Dependência Linear

Um conjunto com dois ou mais vetores é LD se e somente se pelo menos um vetor puder ser escrito como CL dos demais.

Conjunto com o vetor nulo

Qualquer conjunto de vetores que contenha o vetor nulo é necessariamente linearmente dependente.

Base de um Espaço Vetorial

Subconjunto de vetores de V que é simultaneamente linearmente independente e gerador de V.

Unicidade das Coordenadas

Se B é base de V, todo vetor v em V admite uma única representação como combinação linear dos elementos de B.

Dimensão de um Espaço Vetorial

Cardinalidade (número de elementos) de qualquer base do espaço vetorial V.

Espaço Vetorial de Dimensão Finita

Espaço que admite uma base formada por um número finito de vetores.

Teorema do Completamento de Base

Qualquer conjunto linearmente independente em um espaço de dimensão finita pode ser estendido a uma base.

Fórmula de Grassmann

dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W), para subespaços U e W de dimensão finita.

Vetor Coordenado (Vetor de Coordenadas)

Coluna de escalares [c1, ..., cn] correspondentes aos coeficientes da expansão de um vetor numa base ordenada.

Matriz de Mudança de Base

Matriz invertível cujas colunas são as coordenadas dos vetores de uma base antiga expressos em uma base nova.

Espaço Dual (V*)

Espaço vetorial de todos os funcionais lineares mapeando V no corpo K.

Funcional Linear

Transformação linear cujo contradomínio é o próprio corpo de escalares K.

Base Dual

Base f1, ..., fn de V* associada à base v1, ..., vn de V que satisfaz fi(vj) = 1 se i=j e 0 se i≠j (delta de Kronecker).

Anulador de um Subespaço

Conjunto de funcionais em V* que levam todos os vetores de um subespaço W a zero.

Produto Interno

Função de V x V em K que é linear na primeira variável, comutativa simétrica/conjugada e positiva definida.

Positividade do Produto Interno

<v, v> é maior ou igual a zero para todo v, e <v, v> = 0 se e somente se v = 0.

Norma Induzida

Função ||v|| definida pela raiz quadrada positiva do produto interno <v, v>.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

|<u, v>| ≤ ||u|| * ||v|| para quaisquer vetores u e v num espaço com produto interno.

Desigualdade Triangular

||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| para quaisquer vetores u e v.

Vetores Ortogonais

Dois vetores u e v cujo produto interno <u, v> é estritamente igual a zero.

Teorema de Pitágoras em Espaços Vetoriais

Se u e v são ortogonais, então ||u + v||² = ||u||² + ||v||².

Vetor Unitário (Versor)

Vetor cuja norma induzida é exatamente igual a 1.

Conjunto Ortonormal

Conjunto de vetores mutuamente ortogonais onde cada vetor possui norma igual a 1.

Processo de Gram-Schmidt

Algoritmo que transforma uma base qualquer em uma base ortogonal ou ortonormal mantendo o mesmo subespaço gerado.

Complemento Ortogonal (W perp)

Conjunto de todos os vetores de V que são ortogonais a todo vetor pertencente ao subespaço W.

Projeção Ortogonal

Decomposição única de um vetor v como soma v = w + w', onde w pertence a W e w' pertence ao complemento ortogonal de W.

Identidade de Paralelogramo

||u + v||² + ||u - v||² = 2||u||² + 2||v||², válida se e somente se a norma provém de um produto interno.

Espaço Euclidiano

Espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno.