Cálculo: Limites

Cartões · 50

lim (x -> 3) (2x + 1)

Substituição direta: 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7.

lim (x -> -2) (x^2 - 4x + 3)

Substituição direta: (-2)^2 - 4(-2) + 3 = 4 + 8 + 3 = 15.

lim (x -> 0) (e^x + cos(x))

Substituição direta: e^0 + cos(0) = 1 + 1 = 2.

lim (x -> 1) (x^2 - 1) / (x - 1)

Fatore o numerador: (x - 1)(x + 1) / (x - 1). Cancele (x - 1) e avalie: 1 + 1 = 2.

lim (x -> 2) (x^2 - 4) / (x - 2)

Fatore a diferença de quadrados: (x - 2)(x + 2) / (x - 2). Simplifique e calcule: 2 + 2 = 4.

lim (x -> 3) (x^2 - 9) / (x - 3)

Fatore o numerador: (x - 3)(x + 3) / (x - 3). Cancele o termo comum: 3 + 3 = 6.

lim (x -> -3) (x^2 - 9) / (x + 3)

Fatore: (x - 3)(x + 3) / (x + 3). Cancele (x + 3) e aplique x = -3: -3 - 3 = -6.

lim (x -> 2) (x^2 - 5x + 6) / (x - 2)

Fatore o numerador: (x - 2)(x - 3) / (x - 2). Cancele (x - 2): 2 - 3 = -1.

lim (x -> 1) (x^2 + 2x - 3) / (x - 1)

Fatore: (x - 1)(x + 3) / (x - 1). Cancele (x - 1) e substitua: 1 + 3 = 4.

lim (x -> -1) (x^2 - 2x - 3) / (x + 1)

Fatore: (x - 3)(x + 1) / (x + 1). Simplifique e substitua x = -1: -1 - 3 = -4.

lim (x -> 4) (x^2 - 16) / (x^2 - 3x - 4)

Fatore ambos: (x - 4)(x + 4) / [(x - 4)(x + 1)]. Cancele (x - 4): (4 + 4)/(4 + 1) = 8/5.

lim (x -> 1) (x^3 - 1) / (x - 1)

Fatore a diferença de cubos: (x - 1)(x^2 + x + 1) / (x - 1). Cancele e avalie: 1 + 1 + 1 = 3.

lim (x -> 2) (x^3 - 8) / (x - 2)

Fatore: (x - 2)(x^2 + 2x + 4) / (x - 2). Cancele (x - 2) e aplique x = 2: 4 + 4 + 4 = 12.

lim (x -> 0) (x^3 + 2x^2) / x^2

Coloque x^2 em evidência: x^2(x + 2) / x^2. Cancele x^2 e aplique x = 0: 0 + 2 = 2.

lim (x -> 0) (sqrt(x + 4) - 2) / x

Racionalize multiplicando por (sqrt(x+4)+2): (x+4-4) / [x(sqrt(x+4)+2)]. Cancele x: 1/(2+2) = 1/4.

lim (x -> 0) (sqrt(1 + x) - 1) / x

Multiplique pelo conjugado: (1+x-1) / [x(sqrt(1+x)+1)]. Cancele x e aplique x = 0: 1/(1+1) = 1/2.

lim (x -> 9) (sqrt(x) - 3) / (x - 9)

Multiplique pelo conjugado (sqrt(x)+3): (x - 9) / [(x - 9)(sqrt(x)+3)]. Cancele: 1/(3+3) = 1/6.

lim (x -> 4) (x - 4) / (sqrt(x) - 2)

Multiplique pelo conjugado (sqrt(x)+2): (x - 4)(sqrt(x)+2) / (x - 4). Cancele: sqrt(4)+2 = 4.

lim (x -> 1) (sqrt(x + 3) - 2) / (x - 1)

Racionalize: (x + 3 - 4) / [(x - 1)(sqrt(x+3)+2)]. Cancele (x - 1): 1/(sqrt(4)+2) = 1/4.

lim (x -> 7) (sqrt(x + 2) - 3) / (x - 7)

Multiplique pelo conjugado: (x + 2 - 9) / [(x - 7)(sqrt(x+2)+3)]. Cancele (x - 7): 1/(3+3) = 1/6.

lim (x -> 0) (1 - sqrt(1 - x^2)) / x^2

Multiplique por (1+sqrt(1-x^2)): (1 - (1-x^2)) / [x^2(1+sqrt(1-x^2))]. Cancele x^2: 1/(1+1) = 1/2.

lim (x -> 0) sin(x) / x

Limite fundamental trigonométrico: o valor direto da definição analítica resulta em 1.

lim (x -> 0) sin(3x) / x

Multiplique e divida por 3: 3 * [sin(3x) / (3x)]. Pelo limite fundamental: 3 * 1 = 3.

lim (x -> 0) sin(5x) / (2x)

Reescreva como (5/2) * [sin(5x) / (5x)]. Como sin(5x)/(5x) -> 1, o resultado é 5/2.

lim (x -> 0) tan(x) / x

Reescreva: (sin(x)/x) * (1/cos(x)). Aplicando x = 0: 1 * (1/1) = 1.

lim (x -> 0) (1 - cos(x)) / x

Multiplique pelo conjugado (1+cos(x)): sin^2(x) / [x(1+cos(x))] = (sin(x)/x) * sin(x)/(1+cos(x)) = 1 * 0/2 = 0.

lim (x -> 0) (1 - cos(x)) / x^2

Multiplique por (1+cos(x)): sin^2(x) / [x^2(1+cos(x))] = (sin(x)/x)^2 * 1/(1+cos(x)) = 1^2 * 1/2 = 1/2.

lim (x -> 0) sin(4x) / sin(2x)

Divida ambos por x: [4 * sin(4x)/(4x)] / [2 * sin(2x)/(2x)]. Substitua: (4*1)/(2*1) = 2.

lim (x -> inf) (2x + 5) / (3x - 1)

Divida numerador e denominador pelo maior grau (x): (2 + 5/x) / (3 - 1/x) -> (2 + 0)/(3 - 0) = 2/3.

lim (x -> inf) (5x^2 - 3x + 1) / (2x^2 + 4)

Divida por x^2: (5 - 3/x + 1/x^2) / (2 + 4/x^2) -> 5/2.

lim (x -> inf) (3x - 2) / (x^2 + 1)

Divida por x^2: (3/x - 2/x^2) / (1 + 1/x^2) -> (0 - 0)/(1 + 0) = 0.

lim (x -> inf) (4x^3 + 2x) / (x^2 - 5)

O grau do numerador é maior que o do denominador: termo dominante 4x^3 / x^2 = 4x -> inf.

lim (x -> inf) (x^2 + 1) / (2x^2 - 3x)

Divida os coeficientes dos termos de maior grau (x^2): 1/2.

lim (x -> inf) (sqrt(x^2 + 1)) / (2x)

Para x > 0, sqrt(x^2 + 1) = x*sqrt(1 + 1/x^2). Simplifique x: sqrt(1 + 0)/2 = 1/2.

lim (x -> -inf) (sqrt(x^2 + 1)) / (2x)

Para x < 0, sqrt(x^2) = -x. Fica -x*sqrt(1 + 1/x^2) / (2x). Simplifique x: -sqrt(1)/2 = -1/2.

lim (x -> inf) (sqrt(x + 1) - sqrt(x))

Multiplique pelo conjugado: (x + 1 - x) / (sqrt(x+1) + sqrt(x)) = 1 / inf = 0.

lim (x -> inf) (1 + 1/x)^x

Limite fundamental exponencial: pela própria definição de Euler, o resultado é e.

lim (x -> inf) (1 + 2/x)^x

Use a forma geral lim (1 + k/x)^x = e^k. Aqui k = 2, logo o resultado é e^2.

lim (x -> 0) (1 + x)^(1/x)

Mudança de variável u = 1/x: equivale a lim (u -> inf) (1 + 1/u)^u = e.

lim (x -> 0) (e^x - 1) / x

Limite fundamental ou Regra de L'Hôpital (0/0): derivada do topo e^x, da base 1 -> e^0/1 = 1.

lim (x -> 0) (e^(3x) - 1) / x

Multiplique e divida por 3: 3 * [(e^(3x) - 1) / (3x)]. Como o termo entre colchetes tende a 1: 3 * 1 = 3.

lim (x -> 0) (a^x - 1) / x

Reescreva a^x como e^(x ln(a)): derivação por L'Hôpital fornece a^x * ln(a) / 1 -> ln(a).

lim (x -> 0) ln(1 + x) / x

Propriedade dos logaritmos: ln((1 + x)^(1/x)). Como (1+x)^(1/x) -> e, temos ln(e) = 1.

lim (x -> 2^+) 1 / (x - 2)

Quando x se aproxima de 2 pela direita, (x - 2) é positivo e tende a zero: 1 / (+0) = +inf.

lim (x -> 2^-) 1 / (x - 2)

Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, (x - 2) é negativo e tende a zero: 1 / (-0) = -inf.

lim (x -> 0^+) 1 / x

Valores positivos tendendo a zero no denominador resultam em 1 / (+0) = +inf.

lim (x -> 0^-) 1 / x

Valores negativos tendendo a zero no denominador resultam em 1 / (-0) = -inf.

lim (x -> 0) 1 / x^2

Ambos os lados (x > 0 e x < 0) geram denominadores positivos tendendo a zero: 1 / (+0) = +inf.

lim (x -> 0) (sin(x) - x) / x^3

Indeterminação 0/0. L'Hôpital: (cos(x)-1)/(3x^2) -> -sin(x)/(6x) -> -cos(x)/6. Aplique x=0: -1/6.

lim (x -> 0) x * ln(x) para x -> 0^+

Reescreva como ln(x) / (1/x) [inf/inf]. Aplique L'Hôpital: (1/x) / (-1/x^2) = -x. Para x -> 0: 0.