ENA 2027 (PROFMAT)

Cartões · 50

Soma e produto das raízes de ax² + bx + c = 0

Evite Bhaskara se puder testar inteiros divisores de c/a via S = -b/a e P = c/a.

Máximo ou mínimo de parábola f(x) = ax² + bx + c

Calcule x_v = -b/(2a) e substitua diretamente na função f(x_v) em vez de memorizar -Δ/(4a).

Soma dos coeficientes de um polinômio P(x)

Basta calcular P(1). Para o termo independente, calcule P(0).

Divisibilidade de polinômio por (x - a)

Teorema do Resto: o resto da divisão de P(x) por (x - a) é simplesmente P(a).

Equação diofantina linear ax + by = c

Tem solução inteira se e somente se mdc(a,b) divide c. Reduza dividindo tudo pelo mdc.

Resto de divisão de potência a^n por m

Use congruência modular a mod m e procure ciclos rápidos ou o Pequeno Teorema de Fermat.

Pequeno Teorema de Fermat

Se p é primo e mdc(a,p)=1, então a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Reduza o expoente n módulo (p-1).

Número de divisores positivos de n = p1^a * p2^b...

Multiplique os expoentes acrescidos de 1: d(n) = (a+1)(b+1)...

Soma dos divisores positivos de n

Use o produto de PG: [(p1^(a+1)-1)/(p1-1)] * [(p2^(b+1)-1)/(p2-1)]...

Relação entre MDC e MMC de dois inteiros a e b

Sempre vale mdc(a,b) * mmc(a,b) = a * b. Muito útil para isolar uma das variáveis.

Contagem de anagramas com letras repetidas

Permutação com repetição: P = n! / (n1! * n2! * ... * nk!).

Problema de soluções inteiras não negativas x1+...+xk = n

Método dos traços e bolas: C(n + k - 1, k - 1) ou C(n + k - 1, n).

Soluções inteiras estritamente positivas x1+...+xk = n

Faça xi' = xi - 1 >= 0 ou escolha k-1 espaços entre n objetos: C(n - 1, k - 1).

Probabilidade de pelo menos um evento ocorrer

Calcule pelo evento complementar: P(pelo menos 1) = 1 - P(nenhum ocorrer).

Lançamento repetido de moeda até obter cara

Distribuição geométrica: o valor esperado do número de tentativas é 1/p.

Princípio da Casa dos Pombos

Se n itens são colocados em k caixas e n > k, pelo menos uma caixa tem ao menos ceil(n/k) itens.

Soma dos n primeiros termos de uma PA

Sn = n * (termo médio) = n * (a1 + an) / 2.

Três termos em PA desconhecidos

Escreva-os como (x - r), x, (x + r). A soma simplifica direto para 3x.

Três termos em PG desconhecidos

Escreva-os como x/q, x, x*q. O produto simplifica direto para x³.

Soma de PG infinita com |q| < 1

S = a1 / (1 - q). Útil para dízimas periódicas e processos recursivos geométricos.

Teorema das Bissetrizes (Interna)

A bissetriz divide o lado oposto na razão dos lados adjacentes: b/c = x/y.

Potência de Ponto em circunferências

Para cordas concorrentes que se cortam em P: PA * PB = PC * PD (seja P interno ou externo).

Área de triângulo com semiperímetro p e raio inscrito r

Área = p * r. Atalho perfeito para achar o raio da circunferência inscrita.

Área de triângulo com raio circunscrito R

Área = (a * b * c) / (4 * R).

Fórmula de Heron para área de triângulo

A = raiz(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)). Se os lados forem inteiros, calcule p primeiro.

Mediana relativa à hipotenusa no triângulo retângulo

A mediana relativa à hipotenusa mede exatamente metade da hipotenusa: m = a/2.

Relações métricas no triângulo retângulo: h² e b²

h² = m * n (projeções) e b² = a * m (hipotenusa vezes projeção).

Teorema de Pitágoras com ternos pitagóricos

Memorize os múltiplos de (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) e (7,24,25) para poupar cálculos.

Teorema dos Cossenos: quando usar?

Quando tiver dois lados e o ângulo compreendido, ou para achar ângulos conhecendo os 3 lados.

Teorema dos Senos: quando usar?

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R. Ideal quando há pares lado-ângulo oposto ou raio circunscrito.

Área de triângulo usando seno

Área = (a * b * sen(theta)) / 2, ótimo para quadriláteros divididos em triângulos.

Distância de ponto (x0, y0) à reta Ax + By + C = 0

d = |A*x0 + B*y0 + C| / raiz(A² + B²).

Condição de perpendicularismo entre retas

Os coeficientes angulares satisfazem m1 * m2 = -1 (se nenhum for vertical).

Equação da circunferência de centro (a, b) e raio r

(x - a)² + (y - b)² = r². Complete quadrados para converter da forma geral.

Volume de pirâmides e cones

V = (1/3) * Área da base * Altura. Não esqueça do fator 1/3.

Razão de áreas e volumes em sólidos semelhantes

Se a razão linear é k, a razão de áreas é k² e a razão de volumes é k³.

Volume e área superficial da esfera

V = (4/3)*pi*r³ e A = 4*pi*r². A derivada da fórmula do volume em r fornece a área.

Desigualdade das Médias (MA >= MG)

(a + b)/2 >= raiz(a*b), igualdade se a = b. Use para achar mínimos de somas do tipo x + c/x.

Função inversa: como encontrar a expressão?

Isole x em termos de y na equação y = f(x) e depois troque as variáveis.

Gráfico de função par e ímpar

Função par f(-x)=f(x) tem simetria no eixo y; função ímpar f(-x)=-f(x) tem simetria na origem.

Mudança de base em logaritmos

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b). Permite simplificar produtos de logaritmos em cadeia.

Propriedade log(a * b) e log(a^k)

log(a*b) = log a + log b; log(a^k) = k * log a. Use para transformar produtos em somas.

Identidade trigonométrica fundamental

sen²(x) + cos²(x) = 1. Dividindo por cos²(x) obtém-se tg²(x) + 1 = sec²(x).

Fórmula do arco duplo: sen(2x) e cos(2x)

sen(2x) = 2*sen(x)*cos(x); cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) = 2cos²(x) - 1.

Relações de Girard para polinômio do 3º grau

ax³+bx²+cx+d: soma r1+r2+r3 = -b/a; produtos 2 a 2 = c/a; produto r1*r2*r3 = -d/a.

Fatoração da diferença de cubos e soma de cubos

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) e a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

Quantidade de números primos entre 1 e N

Aproximadamente N / ln(N), mas no ENA basta crivo simples até raiz(N) para testar primalidade.

Critério de divisibilidade por 7, 11 e 13

Agrupe o número em blocos de 3 algarismos da direita para a esquerda e alterne os sinais.

Chute consciente em geometria plana

Se o problema for invariante para um triângulo genérico, desenhe um equilátero ou retângulo.

Eliminação de alternativas por paridade ou dígitos finais

Analise o último algarismo do resultado da operação para descartar opções incoerentes rapidamente.