Equação do 2º Grau e Trigonometria

Cartões · 31

Fórmula do Discriminante (Delta): Delta = b^2 - 4ac

Em x^2 - 5x + 6 = 0: Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Como Delta > 0, há duas raízes reais distintas.

Fórmula de Bhaskara: x = (-b +- sqrt(Delta)) / (2a)

Para x^2 - 5x + 6 = 0 com Delta = 1: x = (5 +- 1)/2. Raízes: x1 = 6/2 = 3 e x2 = 4/2 = 2.

Soma das raízes (Relações de Girard): S = -b / a

Na equação 2x^2 - 8x + 6 = 0: a = 2, b = -8. A soma das raízes é S = -(-8)/2 = 8/2 = 4.

Produto das raízes (Relações de Girard): P = c / a

Na equação 2x^2 - 8x + 6 = 0: a = 2, c = 6. O produto das raízes é P = 6/2 = 3.

Formação da equação pelas raízes: x^2 - Sx + P = 0

Se as raízes são 3 e 5: S = 3+5 = 8 e P = 3*5 = 15. A equação quadrática é x^2 - 8x + 15 = 0.

Coordenada X do Vértice da parábola: Xv = -b / (2a)

Para f(x) = x^2 - 4x + 3: Xv = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2. O eixo de simetria da parábola é x = 2.

Coordenada Y do Vértice da parábola: Yv = -Delta / (4a)

Para f(x) = -x^2 + 2x + 3: Delta = 4 - 4(-1)(3) = 16. Yv = -16/(4*-1) = 4. O valor máximo da função é 4.

Equação incompleta com c = 0: ax^2 + bx = 0

Resolva x^2 - 7x = 0: fature x(x - 7) = 0. As soluções imediatas são x = 0 ou x - 7 = 0, logo x = 7.

Equação incompleta com b = 0: ax^2 + c = 0

Resolva 2x^2 - 18 = 0: isole x^2 = 18/2 = 9. Extraia a raiz quadrada: x = +-sqrt(9), logo x = 3 ou x = -3.

Forma fatorada do trinômio: a(x - x1)(x - x2)

Fatorar 2x^2 - 10x + 12 = 0 cujas raízes são 2 e 3: forma fatorada é 2(x - 2)(x - 3).

Condição de raízes reais iguais: Delta = 0

Ache k em x^2 - 6x + k = 0 para ter uma raiz real: Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0 -> 36 - 4k = 0 -> k = 9.

Definição do Seno no triângulo retângulo: Cateto Oposto / Hipotenusa

Triângulo com cateto oposto = 3 e hipotenusa = 5: sen(alfa) = 3/5 = 0,6.

Definição do Cosseno no triângulo retângulo: Cateto Adjacente / Hipotenusa

Triângulo com cateto adjacente = 4 e hipotenusa = 5: cos(alfa) = 4/5 = 0,8.

Definição da Tangente: Cateto Oposto / Cateto Adjacente

Triângulo com oposto = 6 e adjacente = 8: tan(alfa) = 6/8 = 3/4 = 0,75.

Relação Fundamental da Trigonometria: sen^2(x) + cos^2(x) = 1

Se sen(x) = 3/5 no 1º quadrante: (3/5)^2 + cos^2(x) = 1 -> cos^2(x) = 1 - 9/25 = 16/25 -> cos(x) = 4/5.

Tangente como quociente: tan(x) = sen(x) / cos(x)

Se sen(x) = 1/2 e cos(x) = sqrt(3)/2: tan(x) = (1/2)/(sqrt(3)/2) = 1/sqrt(3) = sqrt(3)/3.

Seno e Cosseno de 30 graus: sen(30°) = 1/2, cos(30°) = sqrt(3)/2

Calcule a altura h oposta a 30° com hipotenusa 10 m: h = 10 * sen(30°) = 10 * 0,5 = 5 m.

Seno e Cosseno de 45 graus: sen(45°) = cos(45°) = sqrt(2)/2

Calcule o cateto oposto a 45° com hipotenusa sqrt(8): oposto = sqrt(8) * (sqrt(2)/2) = sqrt(16)/2 = 2.

Seno e Cosseno de 60 graus: sen(60°) = sqrt(3)/2, cos(60°) = 1/2

Sombra no solo de poste de 6 m com raio solar a 60°: adjacente = 6 / tan(60°) = 6/sqrt(3) = 2*sqrt(3) m.

Lei dos Senos: a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C)

Em triângulo com A = 30°, B = 45° e lado a = 4: 4/sen(30°) = b/sen(45°) -> 4/0,5 = b/(sqrt(2)/2) -> b = 4*sqrt(2).

Lei dos Cossenos: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

Lados b=3, c=4 e ângulo A=60°: a^2 = 9 + 16 - 2(3)(4)(0,5) = 25 - 12 = 13 -> a = sqrt(13).

Conversão de Graus para Radianos: rad = graus * (pi / 180)

Converter 120° em radianos: 120 * (pi / 180) = (120/180)pi = 2pi/3 rad.

Conversão de Radianos para Graus: graus = rad * (180 / pi)

Converter 3pi/4 rad em graus: (3pi/4) * (180/pi) = 3 * 45 = 135°.

Seno da soma de arcos: sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

sen(75°) = sen(45°+30°) = sen(45)cos(30) + sen(30)cos(45) = (sqrt(2)/2)(sqrt(3)/2) + (1/2)(sqrt(2)/2) = (sqrt(6)+sqrt(2))/4.

Cosseno da soma de arcos: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

cos(60°+45°) = cos(60)cos(45) - sen(60)sen(45) = (1/2)(sqrt(2)/2) - (sqrt(3)/2)(sqrt(2)/2) = (sqrt(2)-sqrt(6))/4.

Seno do arco duplo: sen(2x) = 2*sen(x)*cos(x)

Se sen(x) = 3/5 e cos(x) = 4/5: sen(2x) = 2 * (3/5) * (4/5) = 24/25.

Cosseno do arco duplo: cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x)

Se cos(x) = 4/5 e sen(x) = 3/5: cos(2x) = (4/5)^2 - (3/5)^2 = 16/25 - 9/25 = 7/25.

Relação trigonométrica: 1 + tan^2(x) = sec^2(x)

Se tan(x) = 2: sec^2(x) = 1 + 2^2 = 5. Como cos(x) = 1/sec(x), temos cos^2(x) = 1/5.

Equação trigonométrica fundamental: sen(x) = 1/2 no intervalo [0, 2pi)

No ciclo trigonométrico, o seno vale 1/2 no 1º e 2º quadrantes: soluções são x = pi/6 (30°) e x = 5pi/6 (150°).

Equação trigonométrica fundamental: cos(x) = 0 no intervalo [0, 2pi)

O cosseno é nulo no topo e na base do ciclo trigonométrico: x = pi/2 (90°) e x = 3pi/2 (270°).

Área de triângulo usando seno: Area = (a * b * sen(C)) / 2

Triângulo com lados a=6, b=8 e ângulo compreendido C=30°: Área = (6 * 8 * sen(30°))/2 = 48 * 0,5 / 2 = 12.