Equações e Inequações

Cartões · 32

Fórmula do Discriminante (Delta)

Delta = b² - 4ac, usada para determinar a quantidade e a natureza das raízes reais de ax² + bx + c = 0.

Significado de Delta maior que zero

A equação do segundo grau possui duas raízes reais e distintas.

Significado de Delta igual a zero

A equação do segundo grau possui apenas uma raiz real dupla (duas raízes reais e iguais).

Significado de Delta menor que zero

A equação do segundo grau não possui raízes reais no conjunto dos números reais.

Fórmula de Bhaskara para ax² + bx + c = 0

x = (-b ± raiz quadrada de Delta) / (2a), onde Delta = b² - 4ac.

Relações de Girard: Soma das raízes (grau 2)

Para ax² + bx + c = 0, a soma das raízes x1 + x2 é dada por -b / a.

Relações de Girard: Produto das raízes (grau 2)

Para ax² + bx + c = 0, o produto das raízes x1 * x2 é dado por c / a.

Forma fatorada da equação do 2º grau

a(x - x1)(x - x2) = 0, onde x1 e x2 são as raízes da equação.

Vértice da Parábola: Abscissa (Xv)

Xv = -b / (2a), representa o eixo de simetria e o ponto de máximo ou mínimo.

Vértice da Parábola: Ordenada (Yv)

Yv = -Delta / (4a), representa o valor máximo (se a < 0) ou mínimo (se a > 0).

Regra de inversão do sinal na inequação

Ao multiplicar ou dividir ambos os lados de uma inequação por um número negativo, o sinal de desigualdade deve ser invertido.

Condição de existência de equações fracionárias

O denominador nunca pode ser zero; valores que anulam o denominador devem ser excluídos do conjunto solução.

Erro comum ao simplificar incógnitas em inequações

Cortar a incógnita em ambos os lados ou multiplicar cruzado sem conhecer o sinal dela pode eliminar raízes ou inverter o sinal indevidamente.

Método do Varal para inequações-produto

Encontram-se as raízes de cada fator, estuda-se o sinal de cada um numa reta real e faz-se o produto dos sinais nos intervalos.

Inequação quociente f(x)/g(x) >= 0

Aplica-se o estudo de sinais similar ao produto, garantindo estritamente que g(x) != 0 mesmo que a desigualdade inclua igualdade.

Condição de existência de equações irracionais

O radicando de índice par deve ser maior ou igual a zero, e o outro lado da igualdade também deve ser não-negativo.

Armadilha ao elevar equações ao quadrado

Elevar ambos os lados ao quadrado pode introduzir raízes estranhas; é obrigatório testar as soluções encontradas na equação original.

Definição algébrica de Módulo |x|

|x| = x se x >= 0, e |x| = -x se x < 0.

Propriedade da Equação Modular: |x| = k (k > 0)

A solução é dada pela união de x = k ou x = -k.

Equação Modular: |x| = k quando k < 0

Não possui solução real, pois o valor absoluto de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero.

Inequação Modular: |x| < c (com c > 0)

Equivale à desigualdade dupla simultânea: -c < x < c.

Inequação Modular: |x| > c (com c > 0)

Equivale à união das condições: x > c ou x < -c.

Equação Biquadrada: ax^4 + bx^2 + c = 0

Substitui-se y = x² (com y >= 0) para recair em ay² + by + c = 0, resolvendo depois para x.

Equação Exponencial: a^x = a^y (a > 0 e a != 1)

Bases iguais implicam expoentes iguais: x = y.

Inequação Exponencial com base a > 1

A função é estritamente crescente: a^x > a^y implica diretamente x > y.

Inequação Exponencial com base 0 < a < 1

A função é estritamente decrescente: a^x > a^y implica inversão do sinal: x < y.

Condição de existência dos Logaritmos: log_a(b)

O logaritmando deve ser estritamente positivo (b > 0) e a base positiva e diferente de 1 (a > 0 e a != 1).

Inequação Logarítmica com base a > 1

Preserva o sentido da desigualdade: log_a(x) > log_a(y) implica x > y > 0.

Inequação Logarítmica com base 0 < a < 1

Inverte o sentido da desigualdade: log_a(x) > log_a(y) implica 0 < x < y.

Sinal da função afim f(x) = ax + b

Tem o sinal de a para x à direita da raiz (-b/a) e o sinal contrário de a para x à esquerda da raiz.

Sinal da função quadrática f(x) com Delta < 0

A função nunca cruza o eixo x e tem o mesmo sinal do coeficiente a para todo x real.

Sistema linear homogêneo: característica principal

Os termos independentes são todos nulos; sempre admite pelo menos a solução trivial (0, 0, ..., 0).