Função do 1º Grau

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Definição de função do 1º grau (função afim)

É toda função f de R em R dada pela lei f(x) = ax + b, com a e b reais e a diferente de zero.

Forma algébrica padrão da função afim

f(x) = ax + b ou y = ax + b.

Significado do coeficiente 'a'

É o coeficiente angular ou taxa de variação média, indicando a inclinação da reta.

Significado do coeficiente 'b'

É o coeficiente linear, que representa o valor de y onde a reta intercepta o eixo vertical (eixo y).

Condição para a existência de uma função do 1º grau

O coeficiente 'a' deve ser diferente de zero (a ≠ 0).

O que ocorre se a = 0 na equação y = ax + b?

A função torna-se uma função constante f(x) = b, não sendo mais do 1º grau.

Formato do gráfico de uma função afim

O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta oblíqua aos eixos.

Função afim estritamente crescente

Ocorre quando o coeficiente angular é positivo (a > 0). À medida que x aumenta, y aumenta.

Função afim estritamente decrescente

Ocorre quando o coeficiente angular é negativo (a < 0). À medida que x aumenta, y diminui.

Definição de raiz ou zero da função afim

É o valor real de x para o qual f(x) = 0.

Fórmula do zero (raiz) da função afim

x = -b / a.

Ponto de interseção com o eixo x (abscissas)

É o ponto de coordenadas (-b/a, 0).

Ponto de interseção com o eixo y (ordenadas)

É o ponto de coordenadas (0, b).

Definição de função linear

Caso particular da função afim em que b = 0, dada por f(x) = ax.

Propriedade gráfica da função linear

O gráfico de toda função linear passa obrigatoriamente pela origem (0, 0).

Definição de função identidade

Caso particular em que a = 1 e b = 0, ou seja, f(x) = x.

Gráfico da função identidade

É a reta bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3º quadrantes).

Definição de função afim transladada

Quando b ≠ 0, a reta f(x) = ax é transladada verticalmente em |b| unidades no eixo y.

Cálculo do coeficiente angular a partir de dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2)

a = (y2 - y1) / (x2 - x1) ou Δy / Δx.

Relação entre coeficiente angular 'a' e trigonometria

O coeficiente angular equivale à tangente do ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo x: a = tg(θ).

Ângulo de inclinação quando a > 0

O ângulo θ formado com o semi-eixo positivo das abscissas é agudo (0° < θ < 90°).

Ângulo de inclinação quando a < 0

O ângulo θ formado com o semi-eixo positivo das abscissas é obtuso (90° < θ < 180°).

Equação fundamental da reta dados um ponto P(x0, y0) e o coeficiente 'a'

y - y0 = a(x - x0).

Condição de paralelismo entre duas funções afins

Duas retas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais (a1 = a2) e b1 ≠ b2.

Condição de perpendicularismo entre duas funções afins

Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for -1 (a1 * a2 = -1).

Retas coincidentes no plano cartesiano

Ocorrem quando duas funções afins possuem o mesmo coeficiente angular e o mesmo coeficiente linear (a1 = a2 e b1 = b2).

Retas concorrentes no plano cartesiano

Retas que se cruzam em um único ponto, o que ocorre quando a1 ≠ a2.

Interseção entre duas funções afins f(x) e g(x)

Obtida igualando as expressões: f(x) = g(x) para encontrar a abscissa comum x.

Estudo do sinal para a > 0 (função crescente)

f(x) < 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) > 0 para x > -b/a.

Estudo do sinal para a < 0 (função decrescente)

f(x) > 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) < 0 para x > -b/a.

Inequação do 1º grau

Desigualdade na forma ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 ou ax + b ≤ 0, resolvida isolando x.

Regra da multiplicação/divisão por número negativo em inequações

Ao multiplicar ou dividir ambos os membros por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte.

Taxa de variação constante

Característica essencial da função do 1º grau: para variações iguais em x, ocorrem variações iguais em y.

Domínio da função afim

O domínio de qualquer função afim é o conjunto dos números reais (Dom = R).

Conjunto imagem da função afim (a ≠ 0)

O conjunto imagem de qualquer função do 1º grau é o conjunto dos números reais (Im = R).

Função bijetora

Toda função do 1º grau é bijetora, pois é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Existência de função inversa para função afim

Como é bijetora, toda função do 1º grau possui função inversa f⁻¹(x).

Fórmula da função inversa de f(x) = ax + b

f⁻¹(x) = (x - b) / a.

Simetria gráfica da função inversa

O gráfico de f⁻¹(x) é a reflexão do gráfico de f(x) em relação à reta bissetriz y = x.

Proporcionalidade direta na função linear

Se y = ax, grandezas x e y são diretamente proporcionais, pois a razão y/x é constante e igual a 'a'.

Interpretação do coeficiente linear 'b' em problemas reais

Representa o custo fixo, valor inicial ou condição de partida antes de qualquer variação de x.

Interpretação do coeficiente angular 'a' em problemas reais

Representa o custo variável unitário, velocidade constante ou taxa unitária de acréscimo/decréscimo.

Equação segmentária da reta

Forma dada por x/p + y/q = 1, onde p é a raiz (-b/a) e q é o coeficiente linear (b).

Equação geral da reta associada à função afim

Ax + By + C = 0, com B ≠ 0, correspondendo a y = (-A/B)x + (-C/B).

Como obter o coeficiente angular a partir da equação geral Ax + By + C = 0?

a = -A / B.

Como obter o coeficiente linear a partir da equação geral Ax + By + C = 0?

b = -C / B.

Bissetriz dos quadrantes pares

Reta definida pela função linear f(x) = -x, onde a = -1 e b = 0.

Composição de duas funções afins

A composta f(g(x)) de duas funções afins também é uma função afim de coeficiente angular a_f * a_g.

Determinação algébrica da reta por dois pontos

Calcula-se 'a' por Δy/Δx e substitui-se um dos pontos em y = ax + b para achar 'b'.

Mínimo de pontos necessários para traçar o gráfico de uma função afim

Dois pontos distintos determinam perfeitamente e de forma única uma reta no plano cartesiano.

Comportamento assintótico da função afim

Funções afins não possuem assíntotas horizontais ou verticais; seus limites para ±∞ tendem a ±∞.

Translação horizontal na função afim

A função f(x - c) desloca a reta original horizontalmente em c unidades para a direita.