Função Exponencial e Logarítmica

Cartões · 39

Definição de função exponencial

Função f(x) = a^x, com base real 'a' tal que a > 0 e a ≠ 1, definida para todo x pertencente aos reais.

Condições de existência da base da função exponencial

A base 'a' deve ser estritamente positiva e diferente de um (a > 0 e a ≠ 1) para garantir valores reais e evitar função constante.

Domínio e conjunto imagem da função exponencial f(x) = a^x

Domínio: todos os números reais (R). Imagem: conjunto dos números reais estritamente positivos (R+* ou (0, +infinito)).

Comportamento crescente da função exponencial

A função f(x) = a^x é estritamente crescente se a base for maior do que um (a > 1).

Comportamento decrescente da função exponencial

A função f(x) = a^x é estritamente decrescente se a base estiver entre zero e um (0 < a < 1).

Ponto de interseção da função exponencial com o eixo y

O gráfico de f(x) = a^x sempre cruza o eixo y no ponto (0, 1), pois a^0 = 1 para qualquer base válida.

Assíntota da função exponencial f(x) = a^x

Possui uma assíntota horizontal na reta y = 0 (eixo x), já que a^x se aproxima de 0 mas nunca o atinge.

Propriedade da potência: Produto de mesma base

a^m * a^n = a^(m + n). Na multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Propriedade da potência: Quociente de mesma base

a^m / a^n = a^(m - n). Na divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

Propriedade da potência: Potência de potência

(a^m)^n = a^(m * n). Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Propriedade da potência: Expoente negativo

a^(-n) = 1 / (a^n), com a ≠ 0. Inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente.

Propriedade da potência: Expoente fracionário (Radiciação)

a^(m/n) = raiz enésima de a^m, com a > 0, m inteiro e n natural maior que zero.

Resolução de equação exponencial básica

Igualam-se as bases em ambos os lados: se a^x = a^y (com a > 0 e a ≠ 1), então x = y.

Resolução de inequação exponencial com base a > 1

Se a > 1, o sentido da desigualdade se mantém: a^x > a^y implica x > y.

Resolução de inequação exponencial com base 0 < a < 1

Se 0 < a < 1, o sentido da desigualdade inverte: a^x > a^y implica x < y.

Definição formal de logaritmo

log_a(b) = x se, e somente se, a^x = b, onde 'a' é a base, 'b' é o logaritmando e 'x' é o logaritmo.

Condições de existência do logaritmo log_a(b)

O logaritmando deve ser positivo (b > 0) e a base deve ser positiva e diferente de 1 (a > 0 e a ≠ 1).

Domínio e conjunto imagem da função logarítmica f(x) = log_a(x)

Domínio: reais estritamente positivos (R+* ou (0, +infinito)). Imagem: conjunto dos números reais (R).

Relação inversa entre função exponencial e logarítmica

A função logarítmica f(x) = log_a(x) é a inversa da função exponencial g(x) = a^x; seus gráficos são simétricos pela reta y = x.

Comportamento crescente da função logarítmica

A função f(x) = log_a(x) é estritamente crescente se a base for maior do que um (a > 1).

Comportamento decrescente da função logarítmica

A função f(x) = log_a(x) é estritamente decrescente se a base estiver entre zero e um (0 < a < 1).

Ponto de interseção da função logarítmica com o eixo x

O gráfico de f(x) = log_a(x) cruza o eixo x no ponto (1, 0), pois log_a(1) = 0 para qualquer base válida.

Assíntota da função logarítmica f(x) = log_a(x)

Possui uma assíntota vertical na reta x = 0 (eixo y), aproximando-se do eixo à medida que x tende a zero pela direita.

Logaritmo da unidade: log_a(1)

log_a(1) = 0, pois qualquer número real elevado a zero é igual a 1 (a^0 = 1).

Logaritmo da própria base: log_a(a)

log_a(a) = 1, pois qualquer número real elevado a 1 é igual a ele mesmo (a^1 = a).

Propriedade operatória: Logaritmo do produto

log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c), com b > 0 e c > 0.

Propriedade operatória: Logaritmo do quociente

log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c), com b > 0 e c > 0.

Propriedade operatória: Logaritmo da potência

log_a(b^n) = n * log_a(b), com b > 0. O expoente do logaritmando passa multiplicando o logaritmo.

Logaritmo com expoente na base

log_(a^m)(b) = (1/m) * log_a(b), com m ≠ 0, b > 0, a > 0 e a ≠ 1.

Fórmula da mudança de base para logaritmos

log_a(b) = log_c(b) / log_c(a), onde 'c' é uma nova base arbitrária (c > 0 e c ≠ 1).

Propriedade da potência com logaritmo no expoente

a^(log_a(b)) = b, decorrente direta da definição de logaritmo como operação inversa.

Permutação de base e logaritmando em potências

a^(log_c(b)) = b^(log_c(a)), válida para bases e logaritmandos positivos e c > 0, c ≠ 1.

Definição de Logaritmo Natural (ou Neperiano)

Logaritmo cuja base é a constante de Euler 'e' (aprox. 2,71828), denotado por ln(x) = log_e(x).

Definição de Logaritmo Comum (ou Decimal)

Logaritmo cuja base é 10, habitualmente grafado sem a base explícita: log(x) = log_10(x).

Resolução de equação logarítmica básica

Se log_a(x) = log_a(y), então x = y, sempre verificando as condições de existência x > 0 e y > 0.

Resolução de inequação logarítmica com base a > 1

Se a > 1, preserva-se o sentido da desigualdade: log_a(x) > log_a(y) implica x > y > 0.

Resolução de inequação logarítmica com base 0 < a < 1

Se 0 < a < 1, inverte-se o sentido da desigualdade: log_a(x) > log_a(y) implica 0 < x < y.

Técnica de linearização usando logaritmos

Aplicar logaritmo em ambos os lados de a^x = b resulta em x * log(a) = log(b), logo x = log(b) / log(a).

Importância da verificação da condição de existência em logaritmos

Soluções algébricas obtidas em equações logarítmicas que tornam o logaritmando ≤ 0 ou a base ≤ 0/igual a 1 são espúrias e devem ser descartadas.