Juros Compostos

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O que são juros compostos?

Regime financeiro no qual os juros de cada período são incorporados ao capital inicial para o cálculo dos juros do período seguinte (juros sobre juros).

Fórmula do montante em juros compostos

M = C * (1 + i)^t, onde M é o montante, C é o capital principal, i é a taxa de juros e t é o tempo.

Capital (C ou PV)

Valor financeiro inicial aplicado, investido ou emprestado antes da incidência dos juros.

Montante (M ou FV)

Valor total acumulado ao final do período, correspondente à soma do capital inicial com os juros gerados: M = C + J.

Fórmula dos juros acumulados (J)

J = M - C ou J = C * [(1 + i)^t - 1], representando o ganho ou custo financeiro total.

Taxa de juros (i)

Percentual cobrado ou pago pelo uso do capital por unidade de tempo, expressa na forma decimal nos cálculos.

Período ou tempo (t ou n)

Número de intervalos de tempo durante os quais o capital fica aplicado sob o regime de capitalização.

Capitalização composta

Processo de incorporação periódica dos juros gerados ao capital principal.

Fórmula do capital inicial (C) isolado

C = M / (1 + i)^t ou C = M * (1 + i)^(-t).

Fórmula da taxa de juros (i) isolada

i = (M / C)^(1 / t) - 1.

Fórmula do tempo (t) isolado

t = ln(M / C) / ln(1 + i) ou t = log(M / C) / log(1 + i).

Diferença entre juros simples e compostos

Em juros simples a rentabilidade é linear (J = C * i * t); em juros compostos a rentabilidade cresce exponencialmente sobre a base acumulada.

Taxa nominal

Taxa declarada cujo período de capitalização não coincide com a unidade de tempo expressa (ex.: 12% ao ano com capitalização mensal).

Taxa efetiva

Taxa real que reflete exatamente o rendimento auferido no período de capitalização: i_efetiva = (1 + i_nominal / k)^k - 1.

Taxas equivalentes em juros compostos

Duas taxas que, aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo prazo, produzem montantes iguais: (1 + i_q) = (1 + i_t)^(q / t).

Fórmula de conversão de taxa anual para mensal equivalente

i_m = (1 + i_a)^(1 / 12) - 1.

Fórmula de conversão de taxa mensal para anual equivalente

i_a = (1 + i_m)^12 - 1.

Taxa real de juros

Rendimento corrigido pela perda do poder de compra causada pela inflação.

Equação de Fisher (taxa real)

(1 + i_aparente) = (1 + i_real) * (1 + IPCA), logo i_real = [(1 + i_aparente) / (1 + IPCA)] - 1.

Taxa aparente

Taxa bruta contratada que não desconta a taxa de inflação do período.

Fator de capitalização (fator de acumulação)

Termo multiplicador que projeta um capital para o futuro: (1 + i)^t.

Fator de descapitalização (fator de desconto)

Termo que traz um valor futuro a valor presente: (1 + i)^(-t) ou 1 / (1 + i)^t.

Regra dos 72

Regra prática para estimar o tempo necessário para dobrar um capital a uma taxa anual i (%): t ≈ 72 / i.

Regra dos 70

Aproximação alternativa e mais precisa para taxas baixas para estimar a duplicação do capital: t ≈ 70 / i.

Desconto composto racional (por dentro)

Desconto calculado sobre o valor presente correspondente: D_r = N - V_p, onde V_p = N / (1 + i)^t.

Fórmula do valor presente no desconto racional composto

VP = VF / (1 + i)^t, onde VF é o valor nominal futuro e VP é o valor atual.

Desconto composto comercial (por fora)

Desconto calculado sobre o valor nominal futuro: D_c = N * [1 - (1 - d)^t].

Valor atual no desconto comercial composto

V_a = N * (1 - d)^t, onde N é o valor de face e d é a taxa de desconto comercial.

Série de pagamentos uniformes (Anuidade)

Sequência de pagamentos ou recebimentos de valores iguais ao longo de intervalos de tempo regulares.

Valor futuro de uma anuidade postecipada

FV = PMT * [((1 + i)^n - 1) / i], com depósitos ao final de cada período.

Valor presente de uma anuidade postecipada

PV = PMT * [(1 - (1 + i)^(-n)) / i], com pagamentos realizados no fim do período.

Anuidade antecipada

Série de pagamentos periódicos em que o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro intervalo (momento zero).

Fórmula do montante de anuidade antecipada

FV_ant = PMT * [((1 + i)^n - 1) / i] * (1 + i).

Fórmula do valor presente de anuidade antecipada

PV_ant = PMT * [(1 - (1 + i)^(-n)) / i] * (1 + i).

Perpetuidade simples

Série infinita de fluxos de caixa periódicos e constantes.

Fórmula do valor presente de uma perpetuidade

PV = PMT / i, válida para uma taxa de desconto constante e fluxo infinito sem crescimento.

Perpetuidade com crescimento constante (Modelo de Gordon)

Série infinita de fluxos que crescem a uma taxa constante g: PV = PMT_1 / (i - g), sendo i > g.

Amortização

Processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos que cobrem juros e abatem o principal.

Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)

Sistema em que as prestações são constantes (PMT fixo), a cota de juros decresce e a amortização cresce ao longo do tempo.

Fórmula da prestação fixa na Tabela Price

PMT = PV * [i * (1 + i)^n] / [(1 + i)^n - 1].

Cálculo dos juros do período k em um financiamento

J_k = SD_(k - 1) * i, onde SD_(k - 1) é o saldo devedor do período imediatamente anterior.

Cálculo do saldo devedor k

SD_k = SD_(k - 1) - A_k, onde A_k é a cota de amortização do período k.

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Sistema no qual a amortização principal é fixa (A = PV / n) e as prestações decrescem a cada período.

Fórmula da prestação no SAC no período k

PMT_k = (PV / n) + [PV - (k - 1) * (PV / n)] * i.

Valor Presente Líquido (VPL / NPV)

Soma de todos os fluxos de caixa descontados à taxa mínima de atratividade (TMA): VPL = somatório [FC_t / (1 + i)^t] - Investimento Inicial.

Taxa Interna de Retorno (TIR / IRR)

Taxa de desconto que iguala o valor presente dos fluxos de caixa futuros ao investimento inicial (VPL = 0).

Capitalização contínua

Modelo em que o período de composição dos juros tende a zero (infinitas vezes ao ano).

Fórmula da capitalização contínua

M = C * e^(r * t), onde e é a base dos logaritmos naturais (Euler) e r é a taxa contínua.

Custo Efetivo Total (CET)

Taxa percentual anual que inclui juros compostos, taxas administrativas, seguros e demais encargos de um crédito.

Efeito bola de neve financeiro

Crescimento acelerado do patrimônio ou de uma dívida decorrente da capitalização cumulativa e exponencial dos juros ao longo do tempo.

Homogeneidade entre taxa e tempo

Princípio segundo o qual a unidade de tempo da taxa (i) e do período (t) deve ser rigorosamente a mesma antes de aplicar as fórmulas.