Juros e Descontos Financeiros

Cartões · 53

Capital Inicial (C ou VP)

C = Valor presente. Representa a quantia monetária inicial aplicada, emprestada ou investida em uma operação financeira.

Taxa de Juros (i)

i = Percentual cobrado ou ganho sobre o capital por unidade de tempo, normalmente expresso em formato decimal nos cálculos.

Prazo ou Período (n ou t)

n = Número de unidades de tempo (dias, meses, anos) pelo qual o capital principal permanece aplicado ou financiado.

Montante Final (M ou VF)

M = C + J. Soma acumulada do capital investido (C) com os juros (J) gerados ao longo de todo o período.

Juros Simples: Fórmula do Juro

J = C * i * n. O valor do juro (J) é proporcional unicamente ao capital inicial (C), à taxa (i) e ao tempo (n).

Juros Simples: Fórmula do Montante

M = C * (1 + i * n). O montante (M) é obtido somando o capital inicial com o produto do juro linear no tempo.

Juros Simples: Cálculo do Capital

C = J / (i * n) ou C = M / (1 + i * n). Isola o capital inicial conhecendo-se o montante ou o total de juros.

Juros Simples: Cálculo da Taxa

i = J / (C * n). Determina a taxa percentual unitária ao dividir o juro total pelo produto do capital pelo tempo.

Juros Simples: Cálculo do Prazo

n = J / (C * i). Determina o número de períodos decorridos ao dividir o juro acumulado pelo rendimento de um período.

Ano Comercial vs. Ano Civil

Ano comercial possui 360 dias (meses de 30 dias). Ano civil (exato) possui 365 ou 366 dias para cálculos bancários.

Juro Exato vs. Juro Comercial

Juro comercial adota a base de 360 dias; juro exato utiliza a contagem exata do calendário civil com base 365/366 dias.

Juros Compostos: Fórmula do Montante

M = C * (1 + i)^n. Os juros de cada período são incorporados ao principal, gerando juros sobre juros exponencialmente.

Juros Compostos: Fórmula do Juro

J = M - C = C * [(1 + i)^n - 1]. Representa a diferença monetária entre o montante acumulado e o capital aplicado.

Juros Compostos: Cálculo do Capital

C = M / (1 + i)^n ou C = M * (1 + i)^(-n). Traz o montante futuro a valor presente descontando a taxa composta acumulada.

Juros Compostos: Cálculo da Taxa

i = (M / C)^(1 / n) - 1. Extrai a raiz de ordem n da razão entre montante e capital para achar a taxa periódica.

Juros Compostos: Cálculo do Prazo

n = ln(M / C) / ln(1 + i). Aplica-se logaritmo natural para isolar o expoente temporal n na equação exponencial.

Taxa Proporcional (Regime Simples)

i_p = i_b * (k_p / k_b). Duas taxas são proporcionais se a razão entre seus valores numéricos iguala a razão dos períodos.

Taxas Equivalentes (Regime Composto)

(1 + i_q) = (1 + i_t)^(q / t). Duas taxas produzem o mesmo montante final ao final de um mesmo período quando aplicadas a C.

Taxa Nominal

Taxa declarada em um contrato cuja unidade de tempo difere do período de capitalização efetiva dos juros.

Taxa Efetiva

Taxa de juros calculada exatamente na mesma periodicidade em que os juros são capitalizados e creditados ao principal.

Taxa Real vs. Taxa Aparente (Equação de Fisher)

(1 + i_aparente) = (1 + i_real) * (1 + inflação). Desconta a inflação acumulada para apurar o ganho de poder de compra.

Valor Nominal de um Título (VN ou N)

N = Valor de resgate de um título, nota promissória ou duplicata a ser pago na respectiva data de vencimento.

Valor Atual ou Líquido (VA ou V)

V = N - D. Valor monetário líquido pago ou recebido por um título quando resgatado antes da sua data de vencimento.

Desconto Racional Simples (Por Dentro)

d_r = (V * i * n) ou d_r = (N * i * n) / (1 + i * n). O desconto incide sobre o valor presente (V) do título.

Valor Atual no Desconto Racional Simples

V_r = N / (1 + i * n). Representa o capital que, aplicado à taxa i por prazo n, geraria o montante N no vencimento.

Desconto Comercial Simples (Por Fora ou Bancário)

d_c = N * d * n. O abatimento incide diretamente sobre o valor nominal (N) estipulado no vencimento do título.

Valor Atual no Desconto Comercial Simples

V_c = N * (1 - d * n). Subtrai o desconto comercial direto do valor nominal do documento para obter o valor descontado.

Relação entre Desconto Comercial e Racional Simples

d_c = d_r * (1 + i * n). Para taxas e prazos iguais, o desconto comercial é estritamente maior que o racional.

Taxa Efetiva no Desconto Comercial Simples

i_efetiva = d / (1 - d * n). Mostra o custo real efetivo da operação sobre o montante líquido efetivamente liberado.

Desconto Racional Composto

V = N / (1 + i)^n. O desconto composto por dentro calcula o valor presente descontando juros compostos no prazo.

Fórmula do Desconto Racional Composto

D_rc = N - V = N * [1 - (1 + i)^(-n)]. Diferença direta entre o valor de face e o valor presente composto.

Desconto Comercial Composto

V = N * (1 - d)^n. Aplica-se sucessivamente a taxa de desconto d sobre os saldos decrescentes em cada período.

Fórmula do Desconto Comercial Composto

D_cc = N * [1 - (1 - d)^n]. Mede o total descontado aplicando a taxa composta por fora ao longo de n períodos.

Fator de Capitalização Simples

FCS = (1 + i * n). Coeficiente multiplicador linear que projeta o capital presente para o valor futuro correspondente.

Fator de Atualização Simples

FAS = 1 / (1 + i * n). Coeficiente que desconta um montante futuro para a data presente sob juros simples.

Fator de Capitalização Composto (FSC)

FCC = (1 + i)^n. Coeficiente multiplicador exponencial para calcular o valor futuro de um capital a juros compostos.

Fator de Descapitalização Composto (FVA)

FDC = (1 + i)^(-n) ou 1 / (1 + i)^n. Coeficiente que calcula o valor atual de um montante futuro a juros compostos.

Taxa Over (Mercado Financeiro)

Taxa de juros cotada mensalmente, mas calculada com base diária útil (geralmente 252 dias úteis no ano).

Conversão de Taxa Anual Útil para Diária (Over 252)

i_diaria = (1 + i_anual)^(1 / 252) - 1. Determina a taxa por dia útil baseada no padrão de mercado de capitais.

Prazo Médio em Títulos Financeiros

P_m = Sum(N_k * n_k) / Sum(N_k). Média ponderada dos prazos de vencimento pelos respectivos valores nominais.

Vencimento Comum de Títulos

Momento no tempo em que um único pagamento substitui diversos títulos mantendo o equilíbrio financeiro dos fluxos.

Taxa Interna de Retorno (TIR)

0 = Sum[FC_t / (1 + TIR)^t]. Taxa de desconto periódica que anula o Valor Presente Líquido (VPL) dos fluxos de caixa.

Valor Presente Líquido (VPL)

VPL = Sum[FC_t / (1 + k)^t] - Investimento Inicial. Soma dos fluxos futuros descontados ao custo de capital k.

Regra dos 72 (Aproximação de Dobra)

n ~ 72 / i_percentual. Estima o número de períodos necessários para dobrar um capital investido a juros compostos.

Anuidade Ordinária: Valor Futuro (Série Postecipada)

VF = PMT * [((1 + i)^n - 1) / i]. Montante acumulado por depósitos regulares periódicos feitos no fim de cada período.

Anuidade Ordinária: Valor Presente (Série Postecipada)

VP = PMT * [(1 - (1 + i)^(-n)) / i]. Valor atual de uma série homogênea de pagamentos com primeiro termo ao final do mês 1.

Anuidade Antecipada: Relação com Postecipada

VP_antecipado = VP_postecipado * (1 + i). Ajusta a série quando as parcelas ocorrem no início de cada período.

Perpetuidade Ordinária

VP = PMT / i. Valor presente de uma série infinita e constante de fluxos periódicos descontados à taxa contínua i.

Perpetuidade com Crescimento (Modelo de Gordon)

VP = PMT_1 / (i - g). Valor presente de fluxos perpétuos que crescem a uma taxa constante g por período (onde i > g).

Taxa Contínua de Juros

M = C * e^(r * t). Capitalização onde a frequência de composição dos juros tende ao infinito matemático no tempo.

Amortização: Definição Básica

Pagamento parcelado destinado exclusivamente à extinção progressiva do principal da dívida, separado dos juros.

Composição da Prestação Bancária (PMT)

PMT_t = A_t + J_t. Toda prestação em um sistema de amortização se divide em parcela de amortização e parcela de juros.

Cálculo dos Juros Periódicos no Saldo Devedor

J_t = SD_(t-1) * i. O juro cobrado em cada parcela incide estritamente sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior.