Matemática: Estudo das Funções

Cartões · 32

Definição formal de Função

Relação f: A -> B que associa a cada elemento x pertencente ao conjunto A um único elemento y = f(x) no conjunto B.

Domínio de uma Função

Conjunto de partida A formado por todos os valores possíveis de entrada x para os quais a função f(x) está bem definida.

Contradomínio de uma Função

Conjunto B que contém todos os valores potenciais de saída da função f: A -> B.

Conjunto Imagem

Subconjunto do contradomínio formado por todos os valores y tais que y = f(x) para algum x no domínio: Im(f) = {f(x) | x pertencente a A}.

Função Injetora

Função onde elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio: se x1 != x2, então f(x1) != f(x2).

Função Sobrejetora

Função cujo conjunto imagem coincide exatamente com o contradomínio: Im(f) = B. Todo y em B possui ao menos um x com f(x) = y.

Função Bijetora

Função que é simultaneamente injetora e sobrejetora. Permite a existência de uma função inversa f^(-1).

Função Inversa

Função f^(-1): B -> A tal que f^(-1)(f(x)) = x e f(f^(-1)(y)) = y. O gráfico de f^(-1) é a reflexão do gráfico de f sobre a reta y = x.

Função Composta

Aplicação sucessiva de duas funções: (g o f)(x) = g(f(x)). O domínio consiste nos valores de x onde f(x) pertence ao domínio de g.

Função Par

Função que satisfaz f(-x) = f(x) para todo x no domínio. Seu gráfico apresenta simetria em relação ao eixo vertical y.

Função Ímpar

Função que satisfaz f(-x) = -f(x) para todo x no domínio. Seu gráfico apresenta simetria rotacional em relação à origem (0,0).

Função Constante

Fórmula: f(x) = c, onde c é constante real. O gráfico é uma reta horizontal paralela ao eixo x e a imagem é o conjunto unitário {c}.

Função Identidade

Fórmula: f(x) = x. Mapeia cada elemento nele mesmo; seu gráfico é a bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).

Função Linear

Fórmula: f(x) = ax com a != 0. É um caso particular da afim com termo independente nulo; passa obrigatoriamente pela origem (0,0).

Função Afim (1º Grau)

Fórmula: f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. O gráfico é uma reta com taxa de variação constante a.

Função Quadrática (2º Grau)

Fórmula: f(x) = ax^2 + bx + c (a != 0). O gráfico é uma parábola com vértice em (-b/(2a), -Delta/(4a)) e concavidade dada pelo sinal de a.

Raízes de uma Função Quadrática

Valores de x para f(x) = 0, dados por Bhaskara: x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a). O número de raízes reais depende do sinal do discriminante Delta.

Função Polinomial

Fórmula: f(x) = a_n*x^n + ... + a_1*x + a_0. O domínio é todo o conjunto dos números reais; tem no máximo n raízes reais.

Função Racional

Fórmula: f(x) = P(x) / Q(x), onde P e Q são polinômios. O domínio é o conjunto de todos os reais exceto onde Q(x) = 0; pode ter assíntotas.

Função Modular

Fórmula: f(x) = |x|, onde f(x) = x se x >= 0 e f(x) = -x se x < 0. Imagem restrita a [0, +infinito); gráfico em formato de V centrado na origem.

Função Exponencial

Fórmula: f(x) = a^x (a > 0 e a != 1). Domínio é R e imagem é (0, +infinito); crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

Função Logarítmica

Fórmula: f(x) = log_a(x) (a > 0, a != 1 e x > 0). Inversa da exponencial com domínio (0, +infinito) e imagem R; passa sempre pelo ponto (1,0).

Função Seno

Fórmula: f(x) = sen(x). Função periódica de período 2pi, domínio R e imagem [-1, 1]; é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).

Função Cosseno

Fórmula: f(x) = cos(x). Função periódica de período 2pi, domínio R e imagem [-1, 1]; é uma função par: cos(-x) = cos(x).

Função Tangente

Fórmula: f(x) = tg(x) = sen(x)/cos(x). Domínio: x != pi/2 + k*pi; período pi; imagem é todo o conjunto dos números reais R.

Função Periódica

Função que satisfaz f(x + T) = f(x) para todo x, onde o menor número real positivo T é chamado de período fundamental da função.

Função Monótona Crescente

Função em que para quaisquer x1 < x2 pertencentes ao domínio, tem-se f(x1) <= f(x2) (estritamente crescente se f(x1) < f(x2)).

Função Monótona Decrescente

Função em que para quaisquer x1 < x2 pertencentes ao domínio, tem-se f(x1) >= f(x2) (estritamente decrescente se f(x1) > f(x2)).

Função Limitada

Função cuja imagem está contida em um intervalo finito, existindo M > 0 tal que |f(x)| <= M para todo elemento x do domínio.

Função Definida por Partes

Função cuja lei de correspondência varia de acordo com diferentes subconjuntos do domínio, como f(x) = x^2 se x >= 0 e f(x) = -x se x < 0.

Função Maior Inteiro (Piso)

Fórmula: f(x) = floor(x) ou [x]. Retorna o maior inteiro menor ou igual a x; o gráfico tem aspecto escalonado com descontinuidades nos inteiros.

Função Raiz Quadrada

Fórmula: f(x) = sqrt(x). Domínio [0, +infinito) e imagem [0, +infinito); é a inversa da restrição não-negativa da função quadrática f(x) = x^2.