Matemática Financeira - Banco do Brasil

Cartões · 50

Juros Simples (Fórmula Geral)

J = C · i · t (J: juros, C: capital inicial, i: taxa de juros na forma decimal, t: tempo). Usado para calcular o rendimento acumulado de forma linear sobre o capital inicial.

Montante no Regime de Juros Simples

M = C · (1 + i · t) ou M = C + J (M: montante final, C: capital, i: taxa, t: tempo). Aplica-se ao cálculo do valor total resgatado ao fim de uma aplicação simples.

Taxas Proporcionais (Juros Simples)

ik = i / k ou ik = i · k (ik: taxa equivalente proporcional, k: fator de conversão de tempo). Aplica-se na conversão direta e linear entre taxas anual, mensal ou diária.

Juros Compostos (Montante)

M = C · (1 + i)^t (M: montante, C: capital, i: taxa por período, t: número de períodos). Aplica-se ao cálculo do crescimento exponencial de capitais no tempo.

Juros nos Juros Compostos

J = M - C ou J = C · [(1 + i)^t - 1] (J: juros acumulados, M: montante, C: capital). Utilizado para isolar o ganho financeiro bruto em aplicações compostas.

Fator de Capitalização Composto

FC = (1 + i)^t (FC: fator de acumulação de capital, i: taxa, t: períodos). Aplica-se para transportar um valor presente para uma data futura.

Fator de Descapitalização Composto

FD = (1 + i)^(-t) ou 1 / (1 + i)^t (FD: fator de valor atual, i: taxa, t: períodos). Aplica-se para trazer um valor futuro a valor presente na data zero.

Taxas Equivalentes (Juros Compostos)

(1 + i_q) = (1 + i_t)^n (i_q: taxa do período que quero, i_t: taxa do período que tenho, n: razão temporal). Aplica-se para converter taxas anuais e mensais compostas.

Taxa Nominal vs. Taxa Efetiva

i_efetiva = (1 + i_nominal / k)^k - 1 (k: número de períodos de capitalização no ano). Aplica-se para achar o rendimento real quando os juros capitalizam periodicamente.

Taxa Real (Equação de Fisher)

(1 + i_nominal) = (1 + i_real) · (1 + i_inflação) (i: taxas expressas em decimal). Aplica-se para calcular o ganho com poder de compra expurgando a inflação.

Taxa Aparente

i_aparente = (1 + i_real) · (1 + ipca) - 1 (taxa contratada antes do desconto inflacionário). Aplica-se para identificar a rentabilidade bruta informada pelo banco.

Desconto Comercial Simples (Bancário ou por Fora)

d = N · i · t (d: desconto comercial, N: valor nominal ou de face, i: taxa de desconto, t: tempo). Usado na antecipação bancária de duplicatas e promissórias.

Valor Atual Comercial Simples

Vc = N · (1 - i · t) (Vc: valor descontado/recebido, N: valor nominal, i: taxa, t: tempo). Determina a quantia líquida creditada na conta do cliente na antecipação.

Desconto Racional Simples (Por Dentro)

dr = (Vr · i · t) ou dr = (N · i · t) / (1 + i · t) (dr: desconto por dentro, Vr: valor atual racional, N: valor nominal). Aplica-se para descontos justos sobre o valor atual.

Valor Atual Racional Simples

Vr = N / (1 + i · t) (Vr: valor líquido racional, N: valor nominal, i: taxa de desconto, t: tempo). Utilizado para calcular o valor presente exato em regime simples.

Relação entre Desconto Comercial e Racional Simples

d / dr = 1 + i · t (d: desconto comercial, dr: desconto racional). Aplica-se para comparar a diferença entre as duas modalidades e encontrar taxas implícitas.

Taxa Efetiva no Desconto Comercial Simples

i_efetiva = d / (Vc · t) (d: valor absoluto do desconto, Vc: valor creditado, t: tempo). Mede o custo real pago pelo cliente sobre o valor líquido recebido.

Desconto Comercial Composto (Por Fora)

Vc = N · (1 - i)^t (Vc: valor presente, N: valor nominal futuro, i: taxa de desconto, t: tempo). Aplica-se no abatimento bancário composto de longo prazo.

Desconto Racional Composto (Por Dentro)

Vr = N / (1 + i)^t (Vr: valor atual racional, N: valor nominal de face, i: taxa periódica, t: períodos). Aplica-se na atualização financeira justa a valor de mercado.

Valor Presente de Série Uniforme (Postecipada)

PV = PMT · [(1 - (1 + i)^(-n)) / i] (PV: valor financiado, PMT: prestação periódica, i: taxa, n: número de parcelas). Modela financiamentos com primeira parcela a 30 dias.

Valor Futuro de Série Uniforme (Postecipada)

FV = PMT · [((1 + i)^n - 1) / i] (FV: montante acumulado, PMT: aporte periódico regular, i: taxa, n: parcelas). Aplica-se ao acúmulo financeiro em planos de previdência.

Série Uniforme Antecipada (Fator 1 + i)

PV_ant = PV_post · (1 + i) ou FV_ant = FV_post · (1 + i) (Ajuste multiplicativo por 1+i). Aplica-se a compras com pagamento de entrada no ato da contratação.

Série Diferida (Período de Carência)

PV_dif = PV_post / (1 + i)^m (m: períodos de carência sem amortização ou juros). Modela empréstimos onde o pagamento só se inicia meses após a liberação.

Perpetuidade Ordinária

PV = PMT / i (PV: valor presente de fluxo perpétuo, PMT: pagamento regular constante, i: taxa de juros). Aplica-se à valoração de ativos que geram proventos infinitos.

Perpetuidade com Crescimento (Modelo de Gordon)

PV = PMT1 / (i - g) (PMT1: fluxo inicial, i: taxa de desconto exigida, g: taxa constante de crescimento anual). Aplica-se ao valuation de ações com dividendos crescentes.

Amortização Constante (SAC - Parcela de Amortização)

A = Saldo Devedor Inicial / n (A: quota de amortização constante, n: total de períodos). Base do cálculo do Sistema de Amortização Constante.

Juros no Sistema de Amortização Constante (SAC)

J_t = SD_(t-1) · i (J_t: juros no mês t, SD_(t-1): saldo devedor do mês anterior, i: taxa contratual). Mostra que os juros decrescem a cada parcela no SAC.

Prestação no Sistema de Amortização Constante (SAC)

PMT_t = A + J_t (PMT_t: valor da prestação decrescente no instante t, A: amortização fixa, J_t: juros do mês). Determina as parcelas no crédito imobiliário do SFH.

Razão de Decréscimo da Prestação no SAC

r = - (A · i) (A: cota fixa de amortização, i: taxa periódica). Aplica-se como progressão aritmética decrescente das prestações do SAC.

Prestação no Sistema Francês / Price (Tabela Price)

PMT = SD_0 · [i / (1 - (1 + i)^(-n))] (PMT: prestação constante, SD_0: principal financiado, n: total de meses). Modela financiamentos com parcelas fixas.

Amortização na Tabela Price

A_t = PMT - J_t (A_t: amortização crescente, PMT: parcela fixa, J_t: juros do mês). Demonstra que a amortização cresce em progressão geométrica de razão (1+i).

Crescimento da Amortização na Tabela Price

A_t = A_1 · (1 + i)^(t - 1) (A_t: amortização no período t, A_1: primeira amortização, i: taxa de juros). Permite calcular amortizações futuras sem tabela completa.

Sistema Americano de Amortização (SAA)

PMT_t = SD · i (para t < n) e PMT_n = SD · (1 + i) (SD: principal emprestado). Aplica-se a empréstimos corporativos com devolução do principal em parcela única final.

Sistema Americano com Sinking Fund

Aporte = SD · [i_f / ((1 + i_f)^n - 1)] (i_f: taxa do fundo garantidor). Modela o valor periódico poupado para liquidar a dívida do SAA na data final.

Sistema de Amortização Misto (SAM)

PMT_SAM = (PMT_SAC + PMT_Price) / 2 (Média aritmética entre as prestações dos dois sistemas). Utilizado em contratos habitacionais para equilibrar fluxos.

Valor Presente Líquido (VPL / NPV)

VPL = Somatório[FC_t / (1 + TMA)^t] - I_0 (FC_t: fluxos de caixa, TMA: taxa de atratividade, I_0: investimento inicial). Aplica-se para aprovar projetos (se VPL > 0).

Taxa Interna de Retorno (TIR / IRR)

Somatório[FC_t / (1 + TIR)^t] - I_0 = 0 (TIR: taxa que zera o VPL). Aplica-se na comparação com a TMA para decidir a viabilidade financeira de investimentos.

Payback Simples

PB = I_0 / FC_anual (para fluxos constantes; I_0: investimento inicial, FC: fluxo periódico). Aplica-se para medir o tempo exato de recuperação do capital investido.

Índice de Lucratividade (IL)

IL = Valor Presente dos Fluxos / Investimento Inicial (IL: índice de rentabilidade). Aplica-se ao ranqueamento de projetos sob restrição de capital.

Saldo Devedor na Tabela Price (Método Retrospectivo)

SD_k = SD_0 · (1 + i)^k - PMT · [((1 + i)^k - 1) / i] (SD_k: saldo após k pagamentos). Aplica-se na apuração do valor residual para quitação antecipada.

Saldo Devedor na Tabela Price (Método Prospectivo)

SD_k = PMT · [(1 - (1 + i)^(-(n - k))) / i] (n - k: parcelas remanescentes). Aplica-se para calcular o saldo devedor olhando apenas para as parcelas futuras.

Saldo Devedor no SAC

SD_k = (n - k) · A (n: total de parcelas, k: pagas, A: amortização constante mensal). Usado para determinar a dívida restante de forma direta e aritmética.

Média Geométrica de Rentabilidade

R_g = [(1 + R_1) · (1 + R_2) · ... · (1 + R_k)]^(1/k) - 1 (R: retornos de cada intervalo). Mede a taxa de rentabilidade média real composta de carteiras de ativos.

Taxa Over (Juros Simples com Base 252)

i_over = (i_anual / 252) · dias_úteis (taxa anual convertida sobre 252 dias úteis úteis do CDI). Aplica-se em operações de curtíssimo prazo no mercado interbancário.

Fator Diário CDI / SELIC Composto

Fator_diário = (1 + i_ano)^(1/252) (i_ano: taxa negociada ao ano em dias úteis). Aplica-se na apuração diária de títulos públicos LFT e CDBs pós-fixados.

Acréscimo e Decréscimo Sucessivos

F_total = (1 + i_1) · (1 - i_2) · ... · (1 + i_k) (F: fator multiplicador final). Aplica-se para calcular o efeito líquido de aumentos e descontos encadeados.

Taxa Efetiva de Custo Total (CET)

Equiparação: Crédito Líquido = Somatório[Encargos e Parcelas / (1 + CET)^t]. Mede o custo real de operações bancárias incluindo tarifas, impostos e seguros.

Equivalência de Capitais a Juros Simples

Somatório[C_ant / (1 + i·t_ant)] = Somatório[C_novo / (1 + i·t_novo)] na data focal fixada. Determina a repactuação de dívidas sob regime simples escolhendo uma data base.

Equivalência de Capitais a Juros Compostos

Somatório[C_j · (1 + i)^(t_focal - t_j)] = Somatório[C'_k · (1 + i)^(t_focal - t_k)]. Permite reestruturar títulos e dívidas independentemente da data focal escolhida.

Índice de Preços e Variação Percentual

Var% = (Indice_final / Indice_inicial - 1) · 100 (IPCA, IGP-M). Aplica-se na medição da inflação oficial acumulada em um período de referência.