Progressão Geométrica

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O que é uma Progressão Geométrica (PG)?

É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante fixa chamada razão (q).

Fórmula do termo geral da PG (a partir de a1)

an = a1 * q^(n - 1), onde an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo, q é a razão e n é a posição do termo na sequência.

Cálculo da razão (q) em uma PG

q = a(n) / a(n - 1), onde qualquer termo não nulo dividido pelo seu antecessor imediato resulta na razão constante q.

Relação entre dois termos quaisquer an e ak

an = ak * q^(n - k), permitindo encontrar um termo qualquer a partir de outro termo conhecido sem precisar calcular a1.

Propriedade da média geométrica de três termos consecutivos

b² = a * c em (a, b, c). O termo do meio ao quadrado é igual ao produto dos seus termos vizinhos imediatos.

Propriedade dos termos equidistantes dos extremos

Em uma PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos: ap * aq = a1 * an, se p + q = n + 1.

Classificação da PG: Crescente (com a1 > 0)

Ocorre quando a1 > 0 e a razão q > 1. Cada termo é estritamente maior que o termo que o antecede.

Classificação da PG: Crescente (com a1 < 0)

Ocorre quando a1 < 0 e a razão 0 < q < 1. Os valores aproximam-se de zero, tornando-se algebricamente maiores a cada passo.

Classificação da PG: Decrescente (com a1 > 0)

Ocorre quando a1 > 0 e a razão 0 < q < 1. Os valores tornam-se progressivamente menores a cada iteração.

Classificação da PG: Decrescente (com a1 < 0)

Ocorre quando a1 < 0 e a razão q > 1. Os valores tornam-se progressivamente mais negativos a cada iteração.

Classificação da PG: Constante (com a1 ≠ 0)

Ocorre quando a razão q = 1. Todos os termos da sequência possuem exatamente o mesmo valor.

Classificação da PG: Alternante ou Oscilante

Ocorre quando a razão q < 0 e a1 ≠ 0. Os sinais dos termos alternam consecutivamente entre positivo e negativo.

Classificação da PG: Estacionária

Ocorre quando o primeiro termo a1 ≠ 0 e a razão q = 0. A sequência assume a forma (a1, 0, 0, 0, ...).

Classificação da PG: Nula

Ocorre quando a1 = 0 e a razão q é qualquer número real. Todos os termos da sequência são estritamente iguais a zero.

Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita (q ≠ 1)

Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1), onde Sn é a soma dos n termos, a1 é o primeiro termo, q é a razão e n é o número de termos.

Fórmula da soma dos termos de uma PG finita quando q = 1

Sn = n * a1, pois somam-se n parcelas idênticas e iguais a a1.

Fórmula da soma alternativa de PG finita usando an

Sn = (an * q - a1) / (q - 1), útil quando conhecemos diretamente o último termo an sem precisar calcular explicitamente a potência q^n.

Condição de convergência da soma de uma PG infinita

A série geométrica converge se e somente se o módulo da razão for estritamente menor que um (|q| < 1 e q ≠ 0).

Fórmula da soma de uma PG infinita convergente

S = a1 / (1 - q), onde S é o limite da soma infinita, a1 é o termo inicial e q é a razão pertencente ao intervalo (-1, 1).

Fórmula do produto dos n primeiros termos de uma PG

|Pn| = sqrt((a1 * an)^n), onde Pn é o produto dos n termos, a1 é o primeiro termo e an é o n-ésimo termo.

Sinal do produto dos termos de uma PG (Pn)

O sinal de Pn depende dos sinais individuais dos termos; se houver um número ímpar de termos negativos, o produto será negativo.

Representação genérica de 3 termos em PG

(x/q, x, x*q), estratégia algébrica onde x é o termo central e q é a razão, simplificando equações envolvendo multiplicação.

Representação genérica de 4 termos em PG

(x/y^3, x/y, x*y, x*y^3), onde a razão da sequência equivale a y^2, facilitando cálculos de produto simétrico.

Representação genérica de 5 termos em PG

(x/q^2, x/q, x, x*q, x*q^2), onde x é o termo central simétrico e q é a razão comum.

Interpolação geométrica de k meios entre 'a' e 'b'

Inserir k termos entre a e b forma uma PG de n = k + 2 termos, cuja razão satisfaz q = (b / a)^(1 / (k + 1)).

Relação entre Logaritmos e PG

Se uma sequência de termos positivos (an) forma uma PG de razão q, então a sequência log(an) forma uma PA de razão log(q).

Aplicação de PG em Juros Compostos

M = C * (1 + i)^t representa uma PG onde o montante M no tempo t corresponde ao termo geral, o capital C é a base e (1 + i) é a razão q.

Diferença conceitual essencial entre PA e PG

Na PA a transição entre termos sucessivos é aditiva (soma de r); na PG a transição é multiplicativa (multiplicação por q).

Significado de dízima periódica simples como PG infinita

Uma dízima como 0,333... é a soma infinita dos termos 3/10 + 3/100 + 3/1000..., com a1 = 0,3 e razão q = 0,1.

Notação e definição de PG monótona

Uma PG é monótona quando não altera seu comportamento de crescimento, mantendo-se sempre crescente ou sempre decrescente (requer q > 0).

Comportamento assintótico de PG com |q| < 1

Quando n tende ao infinito e |q| < 1, o termo geral an tende a 0, significando que os termos tornam-se arbitrariamente próximos de zero.

Comportamento assintótico de PG com |q| > 1

Quando n tende ao infinito e |q| > 1, o módulo de an tende ao infinito, caracterizando divergência rápida da sequência.

Propriedade da potência de termos de uma PG

Se (an) é uma PG de razão q, a sequência elevada a uma potência constante (an^k) é uma nova PG de razão q^k.

Multiplicação termo a termo de duas PGs

Se (an) tem razão q1 e (bn) tem razão q2, a sequência produto (an * bn) forma uma nova PG com razão q1 * q2.

Divisão termo a termo de duas PGs

Se (an) tem razão q1 e (bn) tem razão q2, a sequência quociente (an / bn) forma uma nova PG com razão q1 / q2 (bn ≠ 0).

Inversão dos termos de uma PG

A sequência dos inversos (1/an) de uma PG não nula de razão q forma uma nova PG cuja razão é 1/q.

Determinação do número de termos n a partir dos extremos

n = 1 + [log(an / a1) / log(q)], aplicando logaritmos na relação an = a1 * q^(n - 1) para isolar o expoente inteiro n.

Condição para três números formarem simultaneamente PA e PG

Três números formam uma PA e uma PG não nula se e somente se forem todos iguais entre si, implicando r = 0 e q = 1.

Produto dos termos da PG via logaritmos

log(Pn) = log(a1 * a2 * ... * an) = log(a1) + log(a2) + ... + log(an), transformando o produto de PG na soma de uma PA.

Termo médio de uma PG finita com n ímpar

O termo central amédio ocupa a posição (n + 1)/2 e satisfaz a igualdade amédio = sqrt(a1 * an).

Propriedade dos expoentes em potências de mesma base

Uma sequência da forma (k^1, k^2, k^3, ...) com k ≠ 0 e k ≠ 1 é uma PG de primeiro termo k e razão q = k.

Interpretação geométrica da razão q

A razão q atua como um fator de escala uniforme ou taxa multiplicativa de expansão/contração entre estágios sucessivos.

Soma de infinitos termos da PG: Fração geratriz

A fórmula S = a1 / (1 - q) permite calcular algebricamente a fração geratriz exata de qualquer dízima periódica pura ou composta.

Identificação de PG por recorrência

Uma relação an+1 = q * an com a1 fixado e não nulo define unicamente uma progressão geométrica por primeiro grau homogêneo.

Decaimento radioativo e modelo de PG

A massa remanescente após cada meia-vida sucessiva forma uma PG decrescente de razão q = 1/2 e termo inicial a1 = massa inicial.

PG oscilante com q = -1

Produz uma sequência periódica binária (a, -a, a, -a, ...), cujas somas parciais oscilam indefinidamente entre a e 0.

Soma de PG com expoentes decrescentes

Se a PG for escrita em ordem decrescente, a razão inverte-se formalmente para 1/q, preservando o valor absoluto da soma total.

Fórmula de Pn ao quadrado

Pn² = (a1 * an)^n, indicando que o quadrado do produto de n termos é igual ao produto dos extremos elevado à enésima potência.

Propriedade dos termos saltados em uma PG

Selecionar termos em intervalos regulares de passo k (ex: a1, a1+k, a1+2k...) forma uma nova PG cuja razão resultante é q^k.

Significado de razão nula (q = 0) em sequências

Se q = 0, a sequência perde o caráter multiplicativo contínuo, tornando-se estacionária em zero após o primeiro elemento.