Progressões (PA e PG)

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Definição de Progressão Aritmética (PA)

Sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo (a partir do segundo) e seu antecessor é constante, chamada de razão r.

Fórmula do termo geral da PA

an = a1 + (n - 1) * r, onde an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo, n é a posição e r é a razão.

Relação entre dois termos quaisquer de uma PA

an = ak + (n - k) * r, útil para encontrar termos sem precisar calcular o primeiro termo a1.

Classificação da PA quanto à razão

Crescente se r > 0; Decrescente se r < 0; Constante se r = 0.

Propriedade da média aritmética na PA

Em qualquer trio consecutivo (a, b, c), o termo central é a média aritmética dos extremos: b = (a + c) / 2.

Soma dos termos equidistantes dos extremos na PA

A soma de dois termos equidistantes dos extremos é constante e igual à soma dos próprios extremos: ap + aq = a1 + an (se p + q = n + 1).

Fórmula da soma dos n primeiros termos da PA finita

Sn = ((a1 + an) * n) / 2.

Artifício algébrico para 3 termos em PA

Representar os termos como (x - r, x, x + r). A soma simplifica diretamente para 3x.

Artifício algébrico para 4 termos em PA

Representar os termos como (x - 3y, x - y, x + y, x + 3y), onde a razão da PA é 2y.

Artifício algébrico para 5 termos em PA

Representar os termos como (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r), cuja soma resulta diretamente em 5x.

Identificação de PA por função afim

O termo geral de uma PA an = a1 + (n - 1)r equivale a uma função afim f(n) = r*n + (a1 - r), com coeficiente angular r.

Interpolação de k meios aritméticos

Inserir k termos entre A e B cria uma PA de k + 2 termos, com razão r = (B - A) / (k + 1).

Definição de Progressão Geométrica (PG)

Sequência numérica em que a divisão entre qualquer termo (a partir do segundo) e seu antecessor é constante, chamada de razão q.

Fórmula do termo geral da PG

an = a1 * q^(n - 1), onde an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo, n é o número de termos e q é a razão.

Relação entre dois termos quaisquer de uma PG

an = ak * q^(n - k), ideal para relacionar termos conhecidos sem determinar a1.

Classificação da PG com a1 > 0

Crescente se q > 1; Decrescente se 0 < q < 1; Constante se q = 1; Alternante se q < 0.

Classificação da PG com a1 < 0

Crescente se 0 < q < 1; Decrescente se q > 1; Constante se q = 1; Alternante se q < 0.

PG estacionária ou quase nula

Ocorre quando o primeiro termo é não nulo mas a razão q = 0, gerando a sequência (a1, 0, 0, 0, ...).

Propriedade da média geométrica na PG

Em qualquer trio de termos consecutivos positivos (a, b, c), vale que b^2 = a * c, ou seja, b é a média geométrica dos extremos.

Produto de termos equidistantes dos extremos na PG

O produto de dois termos equidistantes dos extremos é constante e igual ao produto dos extremos: ap * aq = a1 * an (se p + q = n + 1).

Fórmula da soma dos n primeiros termos da PG finita (q ≠ 1)

Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1), ou Sn = (an * q - a1) / (q - 1).

Fórmula da soma de PG infinita convergente

S = a1 / (1 - q), válida exclusivamente se -1 < q < 1 (ou |q| < 1).

Armadilha comum na soma de PG infinita

Aplicar a fórmula S = a1 / (1 - q) quando a razão satisfaz |q| >= 1, situação em que a série diverge.

Fórmula do produto dos n primeiros termos de uma PG

|Pn| = raiz quadrada de (a1 * an)^n, com o sinal determinado pela quantidade de termos negativos.

Artifício algébrico para 3 termos em PG

Representar os termos como (x / q, x, x * q). O produto desses três termos simplifica imediatamente para x^3.

Interpolação de k meios geométricos

Inserir k termos entre A e B forma uma PG de k + 2 termos, com razão dada por q = raiz de índice (k + 1) de (B / A).

Aplicação de PG: Juros Compostos

O montante M a juros compostos após t períodos com taxa i segue uma PG: M = C * (1 + i)^t, onde a razão é (1 + i).

Aplicação de PA: Juros Simples

O montante M a juros simples forma uma PA período a período: M(t) = C + (C * i) * t, com razão r = C * i.

Conexão entre PA e PG via Logaritmos

Se uma sequência (a1, a2, a3, ...) é uma PG de termos estritamente positivos, então (log a1, log a2, log a3, ...) é uma PA.

Conexão entre PA e PG via Exponenciais

Se a sequência (r1, r2, r3, ...) forma uma PA, então (b^r1, b^r2, b^r3, ...) forma uma PG com base b > 0 e b != 1.

Diferença entre o índice n e a quantidade de passos

O termo an está separado de a1 por (n - 1) razões, não n razões. Esquecer o '- 1' é um erro frequente.

Dízimas periódicas como PG infinita

0,777... = 7/10 + 7/100 + 7/1000... PG infinita com a1 = 7/10 e q = 1/10; soma resulta em (7/10)/(1 - 1/10) = 7/9.