Sistemas Lineares

Cartões · 31

x + y = 6 e x - y = 2

Adição/Eliminação: some as duas equações para obter 2x = 8 (x = 4). Substitua x na primeira equação para achar y = 2. Solução: (4, 2).

y = 2x e 3x + y = 15

Substituição: a variável y já está isolada. Substitua na segunda: 3x + 2x = 15 -> 5x = 15 (x = 3). Logo, y = 2(3) = 6. Solução: (3, 6).

x - 3y = 1 e 2x + y = 9

Substituição: isole x na primeira equação (x = 3y + 1) e aplique na segunda: 2(3y + 1) + y = 9 -> 7y = 7 (y = 1). Logo, x = 4. Solução: (4, 1).

2x + 3y = 12 e 2x - 3y = 0

Adição/Eliminação: some as equações diretamente: 4x = 12 -> x = 3. Substitua na segunda: 2(3) - 3y = 0 -> y = 2. Solução: (3, 2).

x + 2y = 8 e 3x - 2y = 8

Adição/Eliminação: os coeficientes de y são opostos. Somando: 4x = 16 -> x = 4. Logo, 4 + 2y = 8 -> y = 2. Solução: (4, 2).

x = 4 - y e 2x + 3y = 11

Substituição: substitua x na segunda: 2(4 - y) + 3y = 11 -> 8 - 2y + 3y = 11 -> y = 3. Logo, x = 4 - 3 = 1. Solução: (1, 3).

3x + 2y = 7 e 5x - y = 3

Substituição ou Adição: multiplique a 2ª por 2 e some à 1ª: 3x + 10x = 7 + 6 -> 13x = 13 (x = 1). Então, y = 5(1) - 3 = 2. Solução: (1, 2).

2x + 5y = 20 e 3x - 2y = 11

Regra de Cramer ou Adição: multiplique a 1ª por 2 e a 2ª por 5 para eliminar y: 4x + 15x = 40 + 55 -> 19x = 95 -> x = 5. Logo, y = 2. Solução: (5, 2).

4x - y = 7 e 2x + 3y = 7

Substituição: isole y na 1ª (y = 4x - 7). Na 2ª: 2x + 3(4x - 7) = 7 -> 14x = 28 -> x = 2. Então, y = 4(2) - 7 = 1. Solução: (2, 1).

x + y = 10 e x - y = 4

Adição: some as duas equações: 2x = 14 -> x = 7. Subtraia as equações: 2y = 6 -> y = 3. Solução: (7, 3).

3x - y = 5 e 2x + y = 10

Adição: coeficientes de y opostos. Somando: 5x = 15 -> x = 3. Substituindo: 2(3) + y = 10 -> y = 4. Solução: (3, 4).

x + 4y = 9 e 3x + 2y = 7

Substituição: isole x na 1ª (x = 9 - 4y). Aplique na 2ª: 3(9 - 4y) + 2y = 7 -> 27 - 10y = 7 -> y = 2. Logo, x = 1. Solução: (1, 2).

2x - 3y = 7 e 5x + 4y = 6

Regra de Cramer: D = 2(4) - (-3)(5) = 23. Dx = 7(4) - (-3)(6) = 46 (x = 2). Dy = 2(6) - 7(5) = -23 (y = -1). Solução: (2, -1).

5x + 2y = 16 e 3x - 4y = 7

Adição: multiplique a 1ª equação por 2 e some à 2ª: 10x + 3x = 32 + 7 -> 13x = 39 -> x = 3. Substitua na 1ª: 15 + 2y = 16 -> y = 0,5. Solução: (3; 0,5).

x - 2y = 0 e 3x + 5y = 22

Substituição: x = 2y. Substitua na 2ª: 3(2y) + 5y = 22 -> 11y = 22 -> y = 2. Logo, x = 4. Solução: (4, 2).

7x + 3y = 27 e 5x + 2y = 19

Regra de Cramer: D = 7(2) - 3(5) = -1. Dx = 27(2) - 3(19) = -3 (x = 3). Dy = 7(19) - 27(5) = -2 (y = 2). Solução: (3, 2).

x + y = 0 e 4x + 7y = 9

Substituição: x = -y. Substitua na 2ª: 4(-y) + 7y = 9 -> 3y = 9 -> y = 3. Logo, x = -3. Solução: (-3, 3).

2x + y = 5 e 4x + 2y = 10

Escalonamento/Análise: a 2ª equação é o dobro da 1ª. Determinante D = 0 e equações equivalentes. Sistema Possível e Indeterminado (infinitas soluções).

x + y = 3 e 2x + 2y = 8

Eliminação/Análise: multiplique a 1ª por -2 e some: 0x + 0y = 2 (falso: 0 = 2). Sistema Impossível (sem solução).

3x + 4y = 10 e 2x - 2y = 2

Adição: multiplique a 2ª por 2: 4x - 4y = 4. Some com a 1ª: 7x = 14 -> x = 2. Logo, 2(2) - 2y = 2 -> y = 1. Solução: (2, 1).

x - y = 5 e 2x + 3y = 25

Substituição: isole x na 1ª (x = y + 5). Na 2ª: 2(y + 5) + 3y = 25 -> 5y + 10 = 25 -> y = 3. Logo, x = 8. Solução: (8, 3).

3x - 5y = 1 e 2x + 3y = 7

Regra de Cramer: D = 9 - (-10) = 19. Dx = 3 - (-35) = 38 -> x = 2. Dy = 21 - 2 = 19 -> y = 1. Solução: (2, 1).

x + y + z = 6, 2y + 5z = -4 e 3z = -6

Substituição regressiva: da 3ª tira-se z = -2. Na 2ª: 2y + 5(-2) = -4 -> y = 3. Na 1ª: x + 3 - 2 = 6 -> x = 5. Solução: (5, 3, -2).

x + y + z = 6, x - y + z = 2 e 2x + y - z = 1

Eliminação Gaussiana: some a 1ª e 2ª equações para obter 2x + 2z = 8 (x + z = 4). Some 2ª e 3ª para obter 3x = 3 -> x = 1. Logo z = 3 e y = 2. Solução: (1, 2, 3).

x + y = 7, y + z = 9 e x + z = 8

Adição: some as 3 equações: 2(x + y + z) = 24 -> x + y + z = 12. Subtraia cada par: z = 12 - 7 = 5; x = 12 - 9 = 3; y = 12 - 8 = 4. Solução: (3, 4, 5).

x - 2y = 3 e 4x - 8y = 12

Análise de proporcionalidade: a segunda equação é exatamente a primeira multiplicada por 4. D = 0. Sistema Possível e Indeterminado (SPI).

6x - 2y = 8 e 3x - y = 7

Eliminação: multiplique a 2ª equação por -2 e some: 0x + 0y = -6, que é uma contradição. Sistema Impossível (SI).

2x + 3y = 8 e x - y = -1

Substituição: x = y - 1. Na 1ª: 2(y - 1) + 3y = 8 -> 5y - 2 = 8 -> y = 2. Logo, x = 1. Solução: (1, 2).

4x + 3y = 18 e 5x - 2y = 11

Adição: multiplique a 1ª por 2 e a 2ª por 3: 8x + 6y = 36 e 15x - 6y = 33. Somando: 23x = 69 -> x = 3. Substituindo: y = 2. Solução: (3, 2).

x + 2y + z = 4, 3x - y = 1 e 2y - z = 3

Substituição: isole z na 3ª (z = 2y - 3) e x na 2ª (x = (1 + y)/3), depois substitua na 1ª equação para achar y = 1, x = 2/3 e z = -1.

3x + y = 13 e x - 2y = -5

Substituição: x = 2y - 5. Substitua na 1ª: 3(2y - 5) + y = 13 -> 7y = 28 -> y = 4. Logo x = 2(4) - 5 = 3. Solução: (3, 4).