Álgebra (Nível Superior)

Cartões · 52

Operação binária

Função que associa a cada par ordenado de elementos de um conjunto S um único elemento pertencente ao próprio S.

Semigrupo

Conjunto munido de uma operação binária associativa.

Monoide

Semigrupo que possui um elemento neutro para sua operação binária.

Grupo

Monoide onde todo elemento possui um elemento simétrico (inverso) em relação à operação.

Grupo abeliano

Grupo cuja operação binária satisfaz a propriedade comutativa.

Subgrupo

Subconjunto não vazio H de G fechado sob a operação de G e sob a tomada de inversos.

Ordem de um elemento

Menor inteiro positivo n tal que a elevado a n é igual ao elemento neutro; se não existir, a ordem é infinita.

Grupo cíclico

Grupo no qual todos os elementos são potências inteiras de um único elemento gerador.

Teorema de Lagrange

Para qualquer grupo finito G, a ordem de qualquer subgrupo H divide a ordem de G.

Classe lateral à esquerda

Conjunto gH formado por todos os produtos de g por elementos do subgrupo H, para g fixo.

Subgrupo normal

Subgrupo N tal que gN é igual a Ng para todo elemento g do grupo.

Grupo quociente G/N

Conjunto das classes laterais de um subgrupo normal N, munido da operação (aN)(bN) = (ab)N.

Homomorfismo de grupos

Aplicação f de G em H tal que f(ab) = f(a)f(b) para quaisquer elementos a e b em G.

Núcleo de um homomorfismo

Conjunto dos elementos do domínio mapeados no elemento neutro do contradomínio; é sempre subgrupo normal.

Teorema dos Isomorfismos de Grupos

Se f é homomorfismo de G em H, então a imagem f(G) é isomorfa ao grupo quociente G dividido pelo núcleo de f.

Anel

Conjunto com adição (grupo abeliano) e multiplicação (associativa) com distributividade mútua.

Anel comutativo

Anel cuja multiplicação é comutativa.

Divisor de zero

Elemento não nulo a tal que existe b não nulo com produto ab = 0.

Domínio de integridade

Anel comutativo com unidade não nula que não possui divisores de zero.

Corpo

Anel comutativo com identidade 1 não nula onde todo elemento diferente de zero é invertível.

Ideal à esquerda

Subgrupo aditivo I de um anel R tal que ra pertence a I para todo r em R e a em I.

Ideal bilateral

Subgrupo aditivo que é simultaneamente ideal à esquerda e ideal à direita.

Anel quociente R/I

Conjunto das classes de equivalência r + I sob adição e multiplicação de classes bem definidas.

Ideal primo

Ideal próprio P tal que se o produto ab pertence a P, então a pertence a P ou b pertence a P.

Ideal maximal

Ideal próprio M que não está estritamente contido em nenhum outro ideal próprio do anel.

Característica de um anel

Menor inteiro positivo n tal que n vezes o 1 é 0; se tal número não existir, vale 0.

Domínio de Ideais Principais (DIP)

Domínio de integridade no qual todo ideal é gerado por um único elemento.

Domínio Fatorial (Delf)

Domínio de integridade onde todo elemento não nulo e não invertível fatora-se unicamente em irredutíveis.

Espaço vetorial

Conjunto munido de adição abeliana e multiplicação por escalares de um corpo que satisfaz os 8 axiomas lineares.

Subespaço vetorial

Subconjunto não vazio fechado sob adição de vetores e multiplicação por escalar.

Combinação linear

Soma finita de múltiplos escalares de vetores pertencentes a um dado conjunto.

Subespaço gerado

Menor subespaço vetorial contendo um dado subconjunto; conjunto de todas as combinações lineares dele.

Independência linear (LI)

Condição em que uma combinação linear nula de vetores implica necessariamente coeficientes todos iguais a zero.

Dependência linear (LD)

Condição na qual existe pelo menos um coeficiente não nulo que produz uma combinação linear igual ao vetor nulo.

Base de um espaço vetorial

Conjunto de vetores que é linearmente independente e gera todo o espaço vetorial.

Dimensão

Cardinalidade de qualquer base de um espaço vetorial de dimensão finita.

Soma direta de subespaços

Soma U + W tal que a interseção entre U e W contém unicamente o vetor nulo.

Transformação linear

Aplicação T entre espaços vetoriais que preserva somas vetoriais e multiplicação por escalares.

Núcleo (Kernel) de T

Subespaço vetorial formado por todos os vetores do domínio cuja imagem pela T é o vetor nulo.

Imagem de T

Subespaço do contradomínio formado por todos os vetores da forma T(v), com v no domínio.

Teorema do Núcleo e da Imagem

A dimensão do domínio é igual à soma da dimensão do núcleo de T com a dimensão da imagem de T.

Autovalor e autovetor

Escalar λ e vetor não nulo v tais que T(v) = λv para um operador linear T.

Autoespaço

Subespaço vetorial gerado por todos os autovetores associados a um dado autovalor λ somado ao vetor nulo.

Polinômio característico

Polinômio p(λ) definido como o determinante da matriz (A - λI).

Teorema de Cayley-Hamilton

Toda matriz quadrada (ou operador linear de dimensão finita) satisfaz sua própria equação característica.

Produto interno

Forma bilinear simétrica (ou sesquilinear hermitiana) positiva definida sobre um espaço vetorial.

Espaço de Hilbert

Espaço com produto interno que é completo com relação à métrica induzida pela norma.

Ortogonalidade

Relação entre dois vetores cujo produto interno mútuo é exatamente igual a zero.

Processo de Gram-Schmidt

Algoritmo para ortogonalizar um conjunto linearmente independente de vetores em um espaço com produto interno.

Operador adjunto

Operador T* único tal que o produto interno de T(u) por v é igual ao produto interno de u por T*(v).

Operador auto-adjunto (hermitiano)

Operador linear que é idêntico ao seu próprio operador adjunto.

Teorema Espectral

Todo operador auto-adjunto em dimensão finita admite uma base ortonormal de autovetores com autovalores reais.