Determinantes e Sistemas Lineares

Cartões · 73

Determinante

Valor escalar associado a uma matriz quadrada que resume propriedades geométricas e algébricas da transformação linear.

Matriz Quadrada

Matriz com número igual de linhas e colunas (ordem n x n); única que admite cálculo de determinante.

Determinante de ordem 1

Para matriz [a], o determinante é o próprio número escalar a.

Determinante de ordem 2

Diferença entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária: a11*a22 - a12*a21.

Regra de Sarrus

Método para calcular determinantes 3x3 somando produtos das três diagonais principais e subtraindo as secundárias.

Diagonal Principal

Conjunto de elementos de uma matriz quadrada com índices de linha e coluna iguais (aij com i = j).

Diagonal Secundária

Conjunto de elementos aij de ordem n onde a soma dos índices satisfaz i + j = n + 1.

Menor Complementar (Mij)

Determinante da submatriz obtida ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz original.

Cofator (Aij)

Produto do menor complementar pelo fator de sinal: Aij = (-1)^(i+j) * Mij.

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz é a soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna por seus respectivos cofatores.

Matriz Singular

Matriz quadrada cujo determinante é igual a zero; não admite inversa.

Matriz Não Singular

Matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero; possui matriz inversa.

Matriz Invertível

Existe inversa se e somente se o determinante da matriz for diferente de zero.

Determinante da Matriz Inversa

det(A^-1) = 1 / det(A), válido para det(A) diferente de zero.

Teorema de Binet

det(A * B) = det(A) * det(B) para matrizes quadradas de mesma ordem.

Determinante da Matriz Transposta

det(A^T) = det(A); transpor uma matriz não altera o valor do seu determinante.

Determinante com Linha ou Coluna Nula

Se uma matriz possui uma linha ou coluna inteira de zeros, seu determinante é identicamente nulo.

Determinante com Filas Paralelas Iguais

Se duas linhas ou colunas forem idênticas, o determinante da matriz é nulo.

Determinante com Filas Proporcionais

Se uma linha (ou coluna) for múltipla escalar de outra, o determinante da matriz é nulo.

Troca de Linhas ou Colunas

Permutar a posição de duas linhas ou colunas consecutivas inverte o sinal do determinante.

Multiplicação de uma Linha por Escalar k

Multiplicar todos os elementos de uma única fila por k multiplica o determinante final por k.

Multiplicação da Matriz Inteira por Escalar k

det(k * A) = k^n * det(A), onde n é a ordem da matriz quadrada.

Teorema de Jacobi

Somar a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas não altera o determinante.

Matriz Triangular Superior

Matriz com todos os elementos abaixo da diagonal principal nulos; determinante é o produto da diagonal.

Matriz Triangular Inferior

Matriz com todos os elementos acima da diagonal principal nulos; determinante é o produto da diagonal.

Matriz Diagonal

Matriz cujos elementos fora da diagonal principal são nulos; determinante é o produto dos elementos da diagonal.

Matriz Identidade (I)

Matriz diagonal com elementos principais iguais a 1; det(I) = 1 para qualquer ordem.

Regra de Chió

Algoritmo para reduzir a ordem de um determinante de n para n-1 a partir de um elemento igual a 1.

Matriz de Vandermonde

Matriz formada por potências sucessivas; determinante é o produto das diferenças de seus elementos geradores.

Determinante Antissimétrico de Ordem Ímpar

Determinante de qualquer matriz antissimétrica de ordem ímpar é obrigatoriamente zero.

Determinante de Matriz Ortogonal

Como A * A^T = I, o determinante de uma matriz ortogonal vale sempre 1 ou -1.

Interpretação Geométrica do Determinante 2x2

O módulo do determinante representa a área do paralelogramo formado pelos dois vetores coluna.

Interpretação Geométrica do Determinante 3x3

O módulo do determinante representa o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores tridimensionais.

Orientação Espacial e Sinal do Determinante

Sinal positivo preserva a orientação do espaço; sinal negativo inverte a orientação (efeito de reflexão).

Matriz dos Cofatores

Matriz formada pela substituição de cada elemento aij pelo seu respectivo cofator Aij.

Matriz Adjunta Clássica (adj(A))

Transposta da matriz dos cofatores de A; satisfaz A * adj(A) = det(A) * I.

Fórmula da Matriz Inversa por Adjunta

A^-1 = (1 / det(A)) * adj(A), válida para matrizes com determinante não nulo.

Sistema Linear (SL)

Conjunto de duas ou mais equações lineares com as mesmas incógnitas avaliadas simultaneamente.

Equação Linear

Equação polinomial de primeiro grau na forma a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b.

Forma Matricial de um SL

Representação de um sistema linear na forma compacta A * X = B.

Matriz dos Coeficientes (A)

Matriz cujos elementos são os coeficientes numéricos que multiplicam as incógnitas do sistema.

Vetor de Incógnitas (X)

Matriz coluna contendo todas as variáveis desconhecidas do sistema linear.

Termos Independentes (B)

Matriz coluna formada pelas constantes situadas no lado direito das equações lineares.

Matriz Ampliada (ou Completa)

Matriz obtida anexando-se o vetor de termos independentes B como última coluna da matriz A.

Solução de um Sistema Linear

Sequência ordenada de números reais que satisfaz todas as equações do sistema simultaneamente.

Sistema Possível e Determinado (SPD)

Sistema linear que possui uma única solução; ocorre quando det(A) ≠ 0 em sistemas n x n.

Sistema Possível e Indeterminado (SPI)

Sistema linear que possui infinitas soluções; o determinante principal e auxiliares anulam-se.

Sistema Impossível (SI)

Sistema linear que não possui solução; equações representam condições geometricamente incompatíveis.

Regra de Cramer

Método de resolução para sistemas lineares n x n via quociente de determinantes: xi = det(Ai) / det(A).

Determinante da Incógnita (det(Ai))

Determinante obtido substituindo a i-ésima coluna de coeficientes pelo vetor de termos independentes B.

Condição da Regra de Cramer

Aplicável unicamente se o número de equações for igual ao de incógnitas e se det(A) ≠ 0.

Sistema Linear Homogêneo

Sistema linear onde todos os termos independentes são nulos (B = 0).

Solução Trivial

Solução nula de um sistema homogêneo onde todas as incógnitas valem zero (x1 = x2 = ... = xn = 0).

Solução Não Trivial

Solução com pelo menos uma incógnita não nula; existe em sistemas homogêneos se det(A) = 0.

Critério de Unicidade em Sistemas Homogêneos

Um sistema homogêneo n x n possui apenas a solução trivial se e somente se det(A) ≠ 0.

Método de Eliminação de Gauss

Algoritmo de escalonamento que transforma a matriz ampliada em uma matriz triangular equivalente.

Operações Elementares sobre Linhas

Troca de linhas, multiplicação por escalar não nulo e adição de múltiplo de uma linha a outra.

Matriz Escalonada

Matriz onde o pivô de cada linha está estritamente à direita do pivô da linha anterior.

Pivô de uma Linha

Primeiro elemento não nulo localizado em uma linha de uma matriz.

Posto (ou Característica) de uma Matriz

Número de linhas não nulas na forma escalonada da matriz; indica vetores linearmente independentes.

Nulidade de uma Matriz

Diferença entre o número total de colunas e o posto da matriz; dimensão do espaço nulo.

Teorema de Rouché-Capelli

Um sistema é compatível se e somente se o posto da matriz de coeficientes for igual ao da ampliada.

Grau de Liberdade

Número de variáveis livres em um SPI, dado pela diferença entre incógnitas e o posto do sistema.

Eliminação de Gauss-Jordan

Processo de escalonamento que simplifica a matriz até a forma escalonada reduzida (identidade à esquerda).

Determinante em Blocos Triangulares

Para matriz particionada com blocos em forma triangular, det é o produto dos determinantes dos blocos da diagonal.

Determinante de Matriz Semelhante

Matrizes semelhantes (B = P^-1 * A * P) compartilham exatamente o mesmo determinante.

Autovalores e Determinante

O determinante de uma matriz é exatamente igual ao produto de todos os seus autovalores complexos.

Polinômio Característico

Polinômio dado por p(λ) = det(A - λ*I); suas raízes representam os autovalores da matriz.

Traço de uma Matriz

Soma dos elementos da diagonal principal; é igual à soma de todos os autovalores de A.

Matriz Idempotente

Matriz que satisfaz A^2 = A; seu determinante assume necessariamente o valor 0 ou 1.

Matriz Nilpotente

Matriz que satisfaz A^k = 0 para algum k positivo; seu determinante é identicamente zero.

Determinante e Volume Hiperdimensional

Em dimensão n, o determinante de n vetores mede o hipervolume orientado do paralelotopo formado.

Substituição Regressiva

Processo iterativo de resolução das incógnitas de baixo para cima após o escalonamento do sistema.