Álgebra, Potenciação e Raízes

Cartões · 52

Definição de potência com expoente inteiro positivo

2 elevado a 4 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16. Multiplica-se a base por ela mesma o número de vezes do expoente.

Potência com expoente igual a 1

7 elevado a 1 = 7. Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo.

Potência com expoente zero (base diferente de zero)

9 elevado a 0 = 1. Todo número diferente de zero elevado a zero resulta em 1.

Produto de potências de mesma base

2 elevado a 3 * 2 elevado a 2 = 2 elevado a (3 + 2) = 2 elevado a 5 = 32. Conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Divisão de potências de mesma base

5 elevado a 6 / 5 elevado a 4 = 5 elevado a (6 - 4) = 5 elevado a 2 = 25. Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

Potência de uma potência

(3 elevado a 2) elevado a 3 = 3 elevado a (2 * 3) = 3 elevado a 6 = 729. Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Potência de um produto

(2 * 3) elevado a 2 = 2 elevado a 2 * 3 elevado a 2 = 4 * 9 = 36. O expoente aplica-se a cada fator.

Potência de um quociente

(4 / 2) elevado a 3 = 4 elevado a 3 / 2 elevado a 3 = 64 / 8 = 8. O expoente aplica-se ao numerador e ao denominador.

Potência com expoente negativo

2 elevado a -3 = 1 / (2 elevado a 3) = 1 / 8. Inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente.

Fração com expoente negativo

(2/3) elevado a -2 = (3/2) elevado a 2 = 9/4. Inverte-se a fração e eleva-se ao expoente positivo.

Base negativa com expoente par

(-3) elevado a 2 = (-3) * (-3) = +9. Quando a base negativa está entre parênteses e o expoente é par, o resultado é positivo.

Base negativa com expoente ímpar

(-2) elevado a 3 = (-2) * (-2) * (-2) = -8. Base negativa com expoente ímpar mantém o sinal negativo.

Sinal negativo fora do parêntese na potência

-3 elevado a 2 = -(3 * 3) = -9. Apenas o 3 está elevado ao quadrado; o sinal negativo é preservado na frente.

Definição de raiz quadrada exata

Raiz quadrada de 49 = 7, pois 7 elevado a 2 = 49 e 7 é positivo ou nulo.

Definição de raiz cúbica

Raiz cúbica de 64 = 4, pois 4 elevado a 3 = 64.

Raiz cúbica de número negativo

Raiz cúbica de -27 = -3, pois (-3) elevado a 3 = -27. O índice ímpar permite radicandos negativos.

Expoente fracionário como radical

8 elevado a (2/3) = raiz cúbica de (8 elevado a 2) = raiz cúbica de 64 = 4. O denominador vira índice da raiz.

Radical transformado em expoente fracionário

Raiz quadrada de 5 = 5 elevado a (1/2). O índice 2 vira denominador e o expoente 1 vira numerador.

Multiplicação de radicais de mesmo índice

Raiz quadrada de 2 * raiz quadrada de 8 = raiz quadrada de (2 * 8) = raiz quadrada de 16 = 4.

Divisão de radicais de mesmo índice

Raiz cúbica de 54 / raiz cúbica de 2 = raiz cúbica de (54 / 2) = raiz cúbica de 27 = 3.

Raiz de uma potência (simplificação de índice e expoente)

Raiz quarta de (3 elevado a 2) = 3 elevado a (2/4) = 3 elevado a (1/2) = raiz quadrada de 3.

Raiz de uma raiz

Raiz quadrada da raiz cúbica de 64 = raiz de índice (2 * 3) de 64 = raiz sexta de 64 = 2.

Fatoração e simplificação de radical

Raiz quadrada de 72 = raiz quadrada de (36 * 2) = 6 * raiz quadrada de 2.

Soma de radicais semelhantes

3 * raiz de 5 + 4 * raiz de 5 = (3 + 4) * raiz de 5 = 7 * raiz de 5. Somam-se apenas os coeficientes.

Racionalização de denominador simples

3 / raiz de 3 = (3 * raiz de 3) / (raiz de 3 * raiz de 3) = 3 * raiz de 3 / 3 = raiz de 3.

Racionalização usando o conjugado

1 / (raiz de 3 - 1) = (raiz de 3 + 1) / ((raiz de 3 - 1)(raiz de 3 + 1)) = (raiz de 3 + 1) / (3 - 1) = (raiz de 3 + 1) / 2.

Introdução de fator externo no radical

2 * raiz cúbica de 5 = raiz cúbica de (2 elevado a 3 * 5) = raiz cúbica de (8 * 5) = raiz cúbica de 40.

Redução de termos semelhantes em álgebra

3x + 5x - 2x = (3 + 5 - 2)x = 6x. Opera-se apenas com os coeficientes numéricos da mesma variável.

Propriedade distributiva da multiplicação

3 * (2x + 4) = 3 * 2x + 3 * 4 = 6x + 12. O fator externo multiplica todos os termos internos.

Multiplicação de monômios

(3x elevado a 2) * (4x elevado a 3) = (3 * 4) * x elevado a (2 + 3) = 12x elevado a 5.

Divisão de monômios

(15x elevado a 5) / (3x elevado a 2) = (15 / 3) * x elevado a (5 - 2) = 5x elevado a 3.

Quadrado da soma de dois termos

(x + 3) elevado a 2 = x elevado a 2 + 2 * x * 3 + 3 elevado a 2 = x elevado a 2 + 6x + 9.

Quadrado da diferença de dois termos

(2x - 5) elevado a 2 = (2x) elevado a 2 - 2 * (2x) * 5 + 5 elevado a 2 = 4x elevado a 2 - 20x + 25.

Produto da soma pela diferença

(x + 4)(x - 4) = x elevado a 2 - 4 elevado a 2 = x elevado a 2 - 16. O resultado é a diferença entre dois quadrados.

Fatoração por fator comum em evidência

6x elevado a 2 + 9x = 3x * (2x + 3). Identifica-se o máximo divisor comum numérico e a variável de menor expoente.

Fatoração por agrupamento

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y). Agrupam-se termos com fatores comuns em pares.

Fatoração da diferença de dois quadrados

x elevado a 2 - 25 = (x + 5)(x - 5). Extrai-se a raiz quadrada de cada termo.

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

x elevado a 2 + 10x + 25 = (x + 5) elevado a 2, pois raiz de 25 é 5 e o termo central é 2 * x * 5 = 10x.

Equação de 1º grau simples

3x - 9 = 0 -> 3x = 9 -> x = 9 / 3 -> x = 3. Isola-se a incógnita invertendo as operações.

Equação de 1º grau com parênteses

2(x + 3) = 14 -> 2x + 6 = 14 -> 2x = 8 -> x = 4. Distribui-se primeiro o produto.

Equação de 1º grau com frações

x/2 + 1 = 4 -> x/2 = 3 -> x = 3 * 2 -> x = 6. Elimina-se o denominador multiplicando os membros.

Equação incompleta de 2º grau sem termo b (ax² + c = 0)

2x elevado a 2 - 18 = 0 -> 2x elevado a 2 = 18 -> x elevado a 2 = 9 -> x = 3 ou x = -3.

Equação incompleta de 2º grau sem termo c (ax² + bx = 0)

x elevado a 2 - 5x = 0 -> x(x - 5) = 0 -> x = 0 ou x - 5 = 0 -> x = 5. Coloca-se x em evidência.

Cálculo do discriminante delta

Para x² - 5x + 6 = 0: delta = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1. Como delta > 0, há duas raízes reais distintas.

Fórmula de Bhaskara para raízes de 2º grau

x² - 5x + 6 = 0: x = (5 ± raiz(1)) / 2 -> x = (5 + 1)/2 = 3 ou x = (5 - 1)/2 = 2. As soluções são 2 e 3.

Soma e produto das raízes de equação do 2º grau

Para x² - 7x + 12 = 0: Soma = -(-7)/1 = 7; Produto = 12/1 = 12. Os números que somam 7 e multiplicam 12 são 3 e 4.

Sistema linear de 1º grau por substituição

x + y = 5 e y = 2x: Substituindo y: x + 2x = 5 -> 3x = 5 -> x = 5/3, logo y = 10/3.

Sistema linear de 1º grau por adição

x + y = 10 e x - y = 4: Somando as duas equações: 2x = 14 -> x = 7; substituindo, 7 + y = 10 -> y = 3.

Simplificação de fração algébrica simples

(x² - 9) / (x - 3) = ((x + 3)(x - 3)) / (x - 3) = x + 3, considerando x diferente de 3.

Multiplicação de fração algébrica

(2x / y) * (y² / 4) = (2 * x * y²) / (4 * y) = (x * y) / 2. Cancela-se os fatores comuns dos numeradores e denominadores.

Potência de base 10 com expoente inteiro

10 elevado a -3 = 1 / 1000 = 0,001. O expoente negativo indica a quantidade de casas decimais após a vírgula.

Inversão de base fracionária com expoente -1

(4/7) elevado a -1 = 7/4. O expoente -1 simplesmente inverte o numerador com o denominador.