Análise Combinatória

Cartões · 50

Fatorial de um número n (n!)

n! = n x (n-1) x ... x 1. Exemplo 4!: 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Valor de 0! (fatorial de zero)

Por definição matemática, 0! = 1.

Diferença crucial: Arranjo vs Combinação

No arranjo, a ordem dos elementos importa (ex: pódio). Na combinação, a ordem não importa (ex: comissão).

Fórmula do Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Total = n1 x n2 x ... x nk. Para 3 camisas e 2 calças: 3 x 2 = 6 formas de vestir.

Fórmula da Permutação Simples (Pn)

Pn = n!. Usada quando todos os n elementos distintos são ordenados.

De quantas maneiras 5 pessoas podem formar uma fila?

Permutação simples: P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 maneiras.

Quantos anagramas possui a palavra LIVRO?

São 5 letras distintas. P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas.

Quantos anagramas de LIVRO começam com L?

Fixa o L na 1ª posição e permuta as outras 4 letras: P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Quantos anagramas de LIVRO terminam em vogal?

Vogais: I, O (2 opções no final). Restam 4 letras: 2 x 4! = 2 x 24 = 48 anagramas.

Fórmula da Permutação com Repetição (P n^(a, b...))

P n^(a, b...) = n! / (a! x b!...). Divide-se pelas repetições de cada elemento.

Quantos anagramas possui a palavra CASA?

4 letras no total com o A repetido 2 vezes: P4^2 = 4! / 2! = 24 / 2 = 12 anagramas.

Quantos anagramas possui a palavra BANANA?

6 letras, com 3 A e 2 N: P6^(3,2) = 6! / (3! x 2!) = 720 / (6 x 2) = 60 anagramas.

Quantos anagramas possui a palavra MATEMATICA sem acento?

10 letras: 3 A, 2 M, 2 T. P10^(3,2,2) = 10! / (3! x 2! x 2!) = 3628800 / 24 = 151200.

Quantos números de 6 algarismos formam-se com 1, 1, 1, 2, 2, 3?

Permutação com repetição: P6^(3,2) = 6! / (3! x 2!) = 720 / 12 = 60 números.

Fórmula da Permutação Circular (PCn)

PCn = (n - 1)!. Usada para ordenar n elementos em círculo onde rotações são iguais.

De quantas formas 6 pessoas sentam-se ao redor de uma mesa redonda?

Permutação circular: PC6 = (6 - 1)! = 5! = 120 formas distintas.

De quantas formas 4 crianças brincam de roda?

Permutação circular: PC4 = (4 - 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 maneiras.

Fórmula do Arranjo Simples (A(n, p))

A(n, p) = n! / (n - p)!. Escolha de p elementos distintos entre n, onde a ordem importa.

10 atletas disputam ouro, prata e bronze. Quantos pódios são possíveis?

A ordem importa: A(10, 3) = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 pódios possíveis.

Quantos números de 3 algarismos distintos formam-se com 1, 2, 3, 4, 5?

Arranjo de 5 tomados 3 a 3: A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5 x 4 x 3 = 60 números.

Quantas senhas de 4 dígitos distintos podem ser feitas de 0 a 9?

A ordem importa: A(10, 4) = 10! / (10 - 4)! = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 senhas.

Em uma sala com 8 pessoas, escolhe-se presidente e vice. Quantos pares?

Cargos distintos, ordem importa: A(8, 2) = 8! / 6! = 8 x 7 = 56 pares possíveis.

Quantos números pares de 3 algarismos distintos formam-se com 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Último dígito deve ser par (2, 4 ou 6: 3 opções). Restam 5 algarismos para 2 vagas: 3 x A(5, 2) = 3 x 20 = 60.

Fórmula do Arranjo com Repetição (AR(n, p))

AR(n, p) = n^p. Cada uma das p posições pode receber qualquer um dos n elementos.

Quantas senhas de 4 dígitos podem ser formadas de 0 a 9 com repetição permitida?

Arranjo com repetição: AR(10, 4) = 10^4 = 10000 senhas.

Quantos resultados são possíveis ao lançar uma moeda 5 vezes?

Cada lançamento tem 2 opções: 2^5 = 32 resultados possíveis.

Fórmula da Combinação Simples (C(n, p))

C(n, p) = n! / [p! x (n - p)!]. Escolha de p entre n elementos onde a ordem não importa.

De quantas formas escolher uma comissão de 3 pessoas entre 7 voluntários?

A ordem não importa: C(7, 3) = 7! / (3! x 4!) = (7 x 6 x 5) / (3 x 2 x 1) = 35 comissões.

Quantos jogos de 6 números podem ser jogados na Mega-Sena (60 números)?

C(60, 6) = 60! / (6! x 54!) = (60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55) / 720 = 50063860 jogos.

Quantos triângulos distintos podem ser formados com 8 pontos não colineares?

3 pontos definem um triângulo: C(8, 3) = (8 x 7 x 6) / (3 x 2 x 1) = 56 triângulos.

Quantos apertos de mão ocorrem entre 10 pessoas se todas se cumprimentam?

Cada aperto envolve 2 pessoas: C(10, 2) = (10 x 9) / 2 = 45 apertos de mão.

De quantas maneiras sortear 4 livros entre 9 disponíveis para doar?

A ordem de doação não importa: C(9, 4) = 9! / (4! x 5!) = (9 x 8 x 7 x 6) / 24 = 126 maneiras.

Comissão de 2 homens e 3 mulheres a partir de 5 homens e 6 mulheres

Princípio multiplicativo: C(5, 2) x C(6, 3) = 10 x 20 = 200 comissões possíveis.

Quantos segmentos de reta distintos ligam 6 vértices de um hexágono?

Escolhem-se 2 vértices: C(6, 2) = (6 x 5) / 2 = 15 segmentos.

Quantas diagonais tem um polígono de n lados usando combinação?

D = C(n, 2) - n. Para octógono (n=8): C(8, 2) - 8 = 28 - 8 = 20 diagonais.

Propriedade das combinações complementares: C(n, p) = ?

C(n, p) = C(n, n - p). Exemplo: C(10, 8) = C(10, 2) = 45.

De quantas formas escolher pelo menos 1 item entre 4 opções distintas?

Total de subconjuntos não vazios: 2^n - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15 formas.

Fórmula da Combinação com Repetição (CR(n, p))

CR(n, p) = C(n + p - 1, p). Escolha de p itens de n tipos com repetições permitidas.

Quantas soluções inteiras e não negativas tem a equação x + y + z = 5?

Equivale a CR(3, 5) = C(3 + 5 - 1, 5) = C(7, 5) = (7 x 6) / 2 = 21 soluções.

De quantas maneiras comprar 4 sorvetes escolhendo entre 3 sabores?

Combinação com repetição: CR(3, 4) = C(3 + 4 - 1, 4) = C(6, 4) = 15 maneiras.

Quantas soluções inteiras positivas tem a equação x + y + z = 6?

Garante 1 para cada variável, sobram 3 unidades para distribuir: C(3 + 3 - 1, 3 - 1) = C(5, 2) = 10.

Anagramas de ESCOLA com as letras ES juntas e nessa ordem

Trate (ES) como 1 bloco único. Restam C, O, L, A e o bloco (5 elementos): P5 = 5! = 120.

Anagramas de BRASIL com as vogais juntas em qualquer ordem

Bloco (A, I) permuta entre si em 2! formas. Com as outras 4 letras são 5 blocos: 5! x 2! = 120 x 2 = 240.

De quantas formas organizar 3 livros de Física e 2 de Química juntos por matéria?

Organizar cada matéria: 3! e 2!. Alternar os 2 blocos: 2!. Total = 3! x 2! x 2! = 6 x 2 x 2 = 24.

Em uma fila de 6 pessoas, João e Maria não podem ficar juntos. Quantas opções?

Total de filas (6! = 720) menos filas com eles juntos (5! x 2! = 240): 720 - 240 = 480 filas.

Quantos números ímpares de 4 algarismos distintos existem no sistema decimal?

Último dígito: 5 opções (1,3,5,7,9). 1º dígito: 8 opções (não zero nem final). 2º: 8. 3º: 7. Total: 5 x 8 x 8 x 7 = 2240.

De quantas formas formar uma comissão de 4 membros com pelo menos 1 mulher (de 4 homens e 3 mulheres)?

Total de comissões C(7, 4) = 35. Menos comissões só de homens C(4, 4) = 1: 35 - 1 = 34 formas.

Quantos caminhos conectam a origem (0,0) a (3,2) andando apenas para direita e cima?

São 3 passos para D e 2 para C (total 5 passos). Permutação com repetição: P5^(3,2) = 5! / (3! x 2!) = 10 caminhos.

Relação de Stifel nas combinações

C(n - 1, p - 1) + C(n - 1, p) = C(n, p). É a base da construção do Triângulo de Pascal.

Soma da linha n do Triângulo de Pascal

C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2^n. Para a linha 4: 2^4 = 16.