Equação do 1º Grau no Plano Cartesiano

Cartões · 53

Representação gráfica de uma equação do 1º grau com duas incógnitas

É sempre uma linha reta no plano cartesiano.

Forma reduzida da equação da reta

y = mx + b (ou y = ax + b), onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.

O que é o coeficiente angular (m ou a)?

É o número que determina a inclinação e a direção da reta no plano cartesiano.

O que é o coeficiente linear (b)?

É o ponto onde a reta intercepta o eixo vertical (eixo y), com coordenadas (0, b).

Fórmula do coeficiente angular dados dois pontos (x1, y1) e (x2, y2)

m = (y2 - y1) / (x2 - x1), expressando a variação de y sobre a variação de x.

Significado geométrico de coeficiente angular positivo (m > 0)

A reta é crescente: conforme x aumenta, os valores de y também aumentam.

Significado geométrico de coeficiente angular negativo (m < 0)

A reta é decrescente: conforme x aumenta, os valores de y diminuem.

Significado geométrico de coeficiente angular nulo (m = 0)

A reta é horizontal (paralela ao eixo x), com equação da forma y = b.

Qual é a inclinação de uma reta vertical?

A inclinação é indefinida, pois x2 - x1 = 0, gerando uma divisão por zero.

Equação de uma reta vertical que passa por (c, 0)

x = c (não representa uma função de x em y).

O que representa o ponto de intercepto com o eixo x?

É a raiz da equação correspondente, onde y = 0, dada pelo par ordenado (-b/m, 0).

Como calcular o intercepto com o eixo x a partir de y = mx + b?

Basta igualar y a zero e isolar x: 0 = mx + b resulta em x = -b/m.

Forma geral da equação da reta

Ax + By + C = 0, com A e B não simultaneamente nulos.

Como encontrar o coeficiente angular a partir da forma geral Ax + By + C = 0?

Isolando y, obtemos y = (-A/B)x - C/B, logo m = -A/B (para B diferente de 0).

Como encontrar o coeficiente linear a partir da forma geral Ax + By + C = 0?

O coeficiente linear b é igual a -C/B (para B diferente de 0).

Definição geométrica de retas paralelas no plano cartesiano

São retas que possuem a mesma inclinação (m1 = m2) e coeficientes lineares distintos (b1 != b2).

Definição geométrica de retas coincidentes

São retas idênticas que possuem o mesmo coeficiente angular e o mesmo coeficiente linear (m1 = m2 e b1 = b2).

Definição geométrica de retas concorrentes

São retas que se cruzam em exatamente um ponto, possuindo coeficientes angulares distintos (m1 != m2).

Condição de perpendicularidade entre duas retas

O produto de seus coeficientes angulares é igual a -1 (m1 * m2 = -1), ou seja, m2 = -1/m1.

O que é uma função linear?

É uma reta da forma y = mx (com b = 0) que passa obrigatoriamente pela origem (0, 0).

O que é uma função afim?

É a equação geral y = mx + b com b diferente de zero, sem passar pela origem.

O que é a bissetriz dos quadrantes ímpares?

É a reta y = x, que divide o 1º e o 3º quadrantes com inclinação de 45 graus (m = 1).

O que é a bissetriz dos quadrantes pares?

É a reta y = -x, que divide o 2º e o 4º quadrantes com inclinação de 135 graus (m = -1).

Como o valor absoluto de m afeta a inclinação da reta?

Quanto maior |m|, mais inclinada e próxima da vertical a reta se torna.

O que acontece com a reta quando alteramos apenas b mantendo m fixo?

A reta sofre uma translação vertical pura: desloca-se para cima se b aumenta, ou para baixo se diminui.

Como plotar uma reta no plano cartesiano conhecendo sua equação?

Determinam-se dois pontos distintos (como os interceptos nos eixos) e traça-se a linha entre eles.

Quantos pontos são necessários para determinar uma reta unicamente?

Dois pontos distintos no plano cartesiano determinam uma única reta.

Equação fundamental da reta dado um ponto (x0, y0) e o coeficiente m

y - y0 = m(x - x0).

Qual é a relação entre o coeficiente angular m e o ângulo alfa de inclinação?

O coeficiente angular é numericamente igual à tangente do ângulo alfa: m = tan(alfa).

Qual é o ângulo de inclinação de uma reta com m = 1?

O ângulo com o sentido positivo do eixo x é de 45 graus (pi/4 radianos).

Qual é o ângulo de inclinação de uma reta com m = 0?

O ângulo é de 0 graus, indicando uma reta perfeitamente horizontal.

Qual é o ângulo de inclinação de uma reta com m = -1?

O ângulo com o sentido positivo do eixo x é de 135 graus (3pi/4 radianos).

O que indica a solução do sistema de duas equações do 1º grau?

O ponto de interseção (x, y) entre as duas retas representadas pelas equações.

O que significa geometricamente um sistema linear impossível?

As duas retas são paralelas distintas e nunca se cruzam no plano cartesiano.

O que significa geometricamente um sistema linear possível e indeterminado?

As equações representam a mesma reta (retas coincidentes), com infinitos pontos de contato.

Qual é o coeficiente linear da reta y = 3x - 5?

O coeficiente linear é -5, indicando que a reta cruza o eixo y em (0, -5).

Qual é o coeficiente angular da reta y = -4x + 7?

O coeficiente angular é -4, indicando que a reta é decrescente.

Qual é o intercepto com o eixo x da reta y = 2x - 6?

Fazendo y = 0, temos 2x - 6 = 0, logo x = 3. O ponto é (3, 0).

Qual é o intercepto com o eixo y da reta 2x + 3y = 12?

Fazendo x = 0, 3y = 12 resulta em y = 4. O ponto é (0, 4).

Qual é o intercepto com o eixo x da reta 2x + 3y = 12?

Fazendo y = 0, 2x = 12 resulta em x = 6. O ponto é (6, 0).

Equação da reta que passa por (0, 2) e tem inclinação m = 3

y = 3x + 2.

Equação segmentária da reta

x/p + y/q = 1, onde p é o intercepto em x e q é o intercepto em y.

Reta perpendicular à reta y = 2x + 1 terá qual coeficiente angular?

Seu coeficiente angular será m = -1/2.

Reta paralela à reta y = -5x + 3 terá qual coeficiente angular?

Seu coeficiente angular será exatamente m = -5.

Uma reta com m > 0 pode passar apenas pelos quadrantes 1, 2 e 4?

Não, retas com inclinação positiva que não passam pela origem sempre cruzam o 1º e o 3º quadrante.

Em quais quadrantes passa a reta y = 2x + 3?

Passa pelos quadrantes 1, 2 e 3 (não passa pelo 4º quadrante).

Em quais quadrantes passa a reta y = -2x - 4?

Passa pelos quadrantes 2, 3 e 4 (não passa pelo 1º quadrante).

O que ocorre quando m tende ao infinito?

A reta torna-se praticamente vertical, quase paralela ao eixo y.

O que ocorre quando |m| se aproxima de zero?

A reta torna-se quase plana e horizontal, alinhando-se ao eixo x.

Como verificar algebricamente se o ponto (2, 5) pertence à reta y = 2x + 1?

Substitui-se x por 2: y = 2(2) + 1 = 5. Como o valor confere, o ponto pertence à reta.

Significado de taxa de variação constante em equações do 1º grau

Para qualquer intervalo fixo de x, a variação em y é proporcional e constante, dada por delta_y = m * delta_x.

O que representa a reta y = 0 no plano cartesiano?

Representa o próprio eixo das abscissas (eixo x).

O que representa a reta x = 0 no plano cartesiano?

Representa o próprio eixo das ordenadas (eixo y).