Equações Irracionais

Cartões · 50

√(x + 3) = 5

Eleve ao quadrado: x + 3 = 25. Isole a incógnita: x = 25 - 3 = 22. Verificação: √(22 + 3) = √25 = 5 (verdadeiro). Solução: S = {22}.

√(2x - 1) = 3

Eleve ambos os membros ao quadrado: 2x - 1 = 9. Isole x: 2x = 10, logo x = 5. Verifique: √(2(5) - 1) = √9 = 3 (verdadeiro). Solução: S = {5}.

√(x - 4) = 0

Eleve ao quadrado: x - 4 = 0. Isole a variável: x = 4. Verificação: √(4 - 4) = 0 (verdadeiro). Solução: S = {4}.

√(3x + 1) = -2

Uma raiz quadrada aritmética nos reais nunca é negativa (√A ≥ 0). Não existem raízes reais possíveis. Solução: S = ∅.

√(5x + 4) = 4

Eleve ao quadrado: 5x + 4 = 16. Isole x: 5x = 12, logo x = 12/5. Verifique: √(5(12/5) + 4) = √16 = 4 (verdadeiro). Solução: S = {12/5}.

√(x + 7) = x + 1

Eleve ao quadrado: x + 7 = (x + 1)², ou seja, x + 7 = x² + 2x + 1. Reorganize: x² + x - 6 = 0, raízes x = 2 e x = -3. Teste x = -3: √4 = -2 (falso). Teste x = 2: √9 = 3 (válido). S = {2}.

√(2x + 3) = x

Eleve ao quadrado: 2x + 3 = x². Reorganize: x² - 2x - 3 = 0, gerando x = 3 e x = -1. Teste x = -1: √1 = -1 (falso). Teste x = 3: √9 = 3 (verdadeiro). Solução: S = {3}.

√(4x + 5) = x

Eleve ao quadrado: 4x + 5 = x². Equação: x² - 4x - 5 = 0, raízes x = 5 e x = -1. Como x deve ser não-negativo (x ≥ 0), descarta-se -1. Teste x = 5: √25 = 5 (válido). S = {5}.

√(x + 2) = x

Eleve ao quadrado: x + 2 = x². Obtenha x² - x - 2 = 0, cujas raízes são x = 2 e x = -1. Para x = -1, temos √1 = -1 (falso). Para x = 2, temos √4 = 2 (verdadeiro). Solução: S = {2}.

√(6 - x) = x

Eleve ao quadrado: 6 - x = x². Equação: x² + x - 6 = 0, resultando em x = 2 e x = -3. Apenas x ≥ 0 é admissível. Teste x = 2: √4 = 2 (verdadeiro). Solução: S = {2}.

√(10 - 3x) = x

Eleve ao quadrado: 10 - 3x = x². Reorganize: x² + 3x - 10 = 0, gerando x = 2 e x = -5. Como x ≥ 0, descartamos -5. Teste x = 2: √(10 - 6) = √4 = 2 (verdadeiro). Solução: S = {2}.

√(x² - 5) = 2

Eleve ao quadrado: x² - 5 = 4. Isole o termo quadrático: x² = 9. Extraia raízes: x = 3 ou x = -3. Verifique ambos: √(9 - 5) = √4 = 2 (válido para ambos). Solução: S = {-3, 3}.

√(x² + 7) = 4

Eleve ao quadrado: x² + 7 = 16. Isole x²: x² = 9, obtendo x = 3 ou x = -3. Verificação: √(9 + 7) = √16 = 4 para ambos os valores. Solução: S = {-3, 3}.

√(2x² - 1) = x

Eleve ao quadrado: 2x² - 1 = x². Isole x²: x² = 1, resultando em x = 1 ou x = -1. Verifique: para x = 1, √1 = 1 (válido); para x = -1, o membro direito é negativo (inválido). S = {1}.

³√(x + 1) = 2

Eleve ambos os membros ao cubo: x + 1 = 2³, isto é, x + 1 = 8. Isole x: x = 7. Raízes de índice ímpar admitem qualquer valor real. Verificação: ³√8 = 2 (válido). S = {7}.

³√(2x - 4) = -2

Eleve ambos os membros ao cubo: 2x - 4 = (-2)³, logo 2x - 4 = -8. Isole x: 2x = -4, então x = -2. Verificação: ³√(-4 - 4) = ³√(-8) = -2 (válido). Solução: S = {-2}.

³√(x² - 1) = 2

Eleve ao cubo: x² - 1 = 8. Isole a variável: x² = 9, gerando x = 3 ou x = -3. Verifique: ³√(9 - 1) = ³√8 = 2 para ambos os casos. Solução: S = {-3, 3}.

√(x + 5) - 1 = x

Isole o radical: √(x + 5) = x + 1. Eleve ao quadrado: x + 5 = x² + 2x + 1. Equação: x² + x - 4 = 0. Raízes: (-1 ± √17)/2. Como x + 1 ≥ 0, apenas x = (-1 + √17)/2 é válida.

√(x + 1) + 5 = 2

Isole o radical: √(x + 1) = 2 - 5 = -3. Como uma raiz quadrada aritmética nos reais não pode ser negativa, não há solução real. Solução: S = ∅.

√(3x - 5) - 4 = 0

Isole o radical: √(3x - 5) = 4. Eleve ao quadrado: 3x - 5 = 16. Isole x: 3x = 21, resultando em x = 7. Verificação: √(21 - 5) - 4 = √16 - 4 = 0 (verdadeiro). Solução: S = {7}.

√(2x + 5) - √(x - 1) = 2

Isole: √(2x + 5) = 2 + √(x - 1). Ao quadrado: 2x + 5 = 4 + 4√(x - 1) + x - 1. Simplifique: x + 2 = 4√(x - 1). Ao quadrado: x² + 4x + 4 = 16(x - 1). x² - 12x + 20 = 0. Testando raízes 2 e 10: S = {2, 10}.

√(x + 1) = √(2x - 3)

Eleve ambos os membros ao quadrado: x + 1 = 2x - 3. Isole x: x = 4. Verificação: √(4 + 1) = √5 e √(8 - 3) = √5 (verdadeiro). Solução: S = {4}.

√(3x + 4) = √(x + 10)

Eleve ao quadrado: 3x + 4 = x + 10. Isole x: 2x = 6, gerando x = 3. Verificação: √(9 + 4) = √13 e √(3 + 10) = √13 (verdadeiro). Solução: S = {3}.

√(5x - 6) = √(2x + 9)

Eleve ao quadrado: 5x - 6 = 2x + 9. Isole x: 3x = 15, resultando em x = 5. Verificação: √(25 - 6) = √19 e √(10 + 9) = √19 (verdadeiro). Solução: S = {5}.

√(x + 9) + √x = 9

Isole: √(x + 9) = 9 - √x. Ao quadrado: x + 9 = 81 - 18√x + x. Simplifique: 18√x = 72, logo √x = 4. Eleve ao quadrado: x = 16. Verificação: √25 + √16 = 5 + 4 = 9 (válido). S = {16}.

√(2x + 3) + √(x - 2) = 4

Isole um radical: √(2x + 3) = 4 - √(x - 2). Ao quadrado: 2x + 3 = 16 - 8√(x - 2) + x - 2. Simplifique: 8√(x - 2) = 11 - x. Ao quadrado: 64(x - 2) = (11 - x)². x² - 86x + 249 = 0. Raiz válida: x = 3.

√(x - 1) = x - 3

Eleve ao quadrado: x - 1 = (x - 3)² = x² - 6x + 9. Reorganize: x² - 7x + 10 = 0, gerando x = 2 e x = 5. Verifique: para x = 2, √1 = -1 (falso); para x = 5, √4 = 2 (verdadeiro). S = {5}.

√(2x - 5) = 1 - x

Condição: 1 - x ≥ 0 => x ≤ 1. Radicando: 2x - 5 ≥ 0 => x ≥ 2,5. Como não há interseção entre os domínios (x ≥ 2,5 e x ≤ 1), não há soluções reais. Solução: S = ∅.

√(x + 12) = x

Eleve ao quadrado: x + 12 = x². Reorganize: x² - x - 12 = 0, cujas raízes são x = 4 e x = -3. Como x ≥ 0, descartamos -3. Verificação: √(4 + 12) = √16 = 4 (válido). Solução: S = {4}.

√(4 - x) = x - 2

Eleve ao quadrado: 4 - x = (x - 2)² = x² - 4x + 4. Equação: x² - 3x = 0, raízes x = 0 e x = 3. Teste x = 0: √4 = -2 (falso). Teste x = 3: √1 = 1 (válido). Solução: S = {3}.

√(3x + 7) = x + 1

Eleve ao quadrado: 3x + 7 = (x + 1)² = x² + 2x + 1. Equação: x² - x - 6 = 0, raízes x = 3 e x = -2. Teste x = -2: √1 = -1 (falso). Teste x = 3: √16 = 4 (verdadeiro). Solução: S = {3}.

√(7x + 2) - 2x = 1

Isole: √(7x + 2) = 2x + 1. Ao quadrado: 7x + 2 = 4x² + 4x + 1. Equação: 4x² - 3x - 1 = 0, gerando x = 1 e x = -1/4. Testando ambos em √(7x + 2) = 2x + 1, ambos são válidos. S = {-1/4, 1}.

⁴√(x - 3) = 2

Eleve à quarta potência: x - 3 = 2⁴ = 16. Isole a incógnita: x = 16 + 3 = 19. Verificação: ⁴√(19 - 3) = ⁴√16 = 2 (verdadeiro). Solução: S = {19}.

√(x² - 3x + 6) = 2

Eleve ao quadrado: x² - 3x + 6 = 4. Reorganize: x² - 3x + 2 = 0, obtendo raízes x = 1 e x = 2. Verifique: para ambos o radicando é 4, e √4 = 2 (válido). Solução: S = {1, 2}.

√(x² + 2x - 3) = x + 1

Eleve ao quadrado: x² + 2x - 3 = (x + 1)² = x² + 2x + 1. Simplifique: -3 = 1 (contradição matemática). Nenhuma raiz satisfaz a igualdade. Solução: S = ∅.

√(2x² - 7) = x + 1

Eleve ao quadrado: 2x² - 7 = x² + 2x + 1. Reorganize: x² - 2x - 8 = 0, raízes x = 4 e x = -2. Teste x = -2: membro direito é negativo (-1, falso). Teste x = 4: √25 = 5 (verdadeiro). Solução: S = {4}.

√(x + 6) - √x = 1

Isole: √(x + 6) = 1 + √x. Ao quadrado: x + 6 = 1 + 2√x + x. Simplifique: 5 = 2√x, logo √x = 5/2. Eleve ao quadrado: x = 25/4. Verificação: √(49/4) - √(25/4) = 7/2 - 5/2 = 1 (válido). S = {25/4}.

√(2x + 6) - √(x + 4) = 1

Isole: √(2x + 6) = 1 + √(x + 4). Ao quadrado: 2x + 6 = 1 + 2√(x + 4) + x + 4. x + 1 = 2√(x + 4). Ao quadrado: x² + 2x + 1 = 4(x + 4). x² - 2x - 15 = 0, raízes 5 e -3. Testando: apenas x = 5 é válida.

√(x - 5) + 3 = 0

Isole o radical: √(x - 5) = -3. Uma raiz quadrada no conjunto dos números reais não pode ser igual a um valor negativo. Solução: S = ∅.

√(x + 8) = x - 4

Eleve ao quadrado: x + 8 = x² - 8x + 16. Reorganize: x² - 9x + 8 = 0, gerando x = 8 e x = 1. Teste x = 1: √9 = -3 (falso). Teste x = 8: √16 = 4 (válido). Solução: S = {8}.

√(x² - 9) = 4

Eleve ao quadrado: x² - 9 = 16. Isole a variável: x² = 25, obtendo x = 5 ou x = -5. Verificação: √(25 - 9) = √16 = 4 (verdadeiro para ambos). Solução: S = {-5, 5}.

√(5 - x) = √(x + 1)

Eleve ao quadrado: 5 - x = x + 1. Isole x: 2x = 4, portanto x = 2. Verificação: √(5 - 2) = √3 e √(2 + 1) = √3 (verdadeiro). Solução: S = {2}.

√(9 - 2x) = x - 3

Eleve ao quadrado: 9 - 2x = x² - 6x + 9. Reorganize: x² - 4x = 0, gerando x = 0 ou x = 4. Teste x = 0: √9 = -3 (falso). Teste x = 4: √1 = 1 (verdadeiro). Solução: S = {4}.

√(x² + 5x + 1) = 2x + 1

Eleve ao quadrado: x² + 5x + 1 = 4x² + 4x + 1. Reorganize: 3x² - x = 0, gerando x = 0 ou x = 1/3. Verifique x = 0: √1 = 1 (válido). Verifique x = 1/3: √(25/9) = 5/3 (válido). S = {0, 1/3}.

³√(4x - 7) = 1

Eleve ao cubo: 4x - 7 = 1³ = 1. Isole x: 4x = 8, logo x = 2. Verificação: ³√(8 - 7) = ³√1 = 1 (verdadeiro). Solução: S = {2}.

√(x + 1) + √(x - 2) = 3

Isole: √(x + 1) = 3 - √(x - 2). Ao quadrado: x + 1 = 9 - 6√(x - 2) + x - 2. Simplifique: 6√(x - 2) = 6, logo √(x - 2) = 1. x - 2 = 1, x = 3. Teste: √4 + √1 = 2 + 1 = 3 (válido). S = {3}.

√(2x + 1) - x = -1

Isole o radical: √(2x + 1) = x - 1. Ao quadrado: 2x + 1 = x² - 2x + 1. Equação: x² - 4x = 0, raízes x = 0 e x = 4. Teste x = 0: √1 = -1 (falso). Teste x = 4: √9 = 3 (válido). Solução: S = {4}.

√(x² - 16) = x - 2

Eleve ao quadrado: x² - 16 = x² - 4x + 4. Simplifique cancelando x²: -16 = -4x + 4. Logo -4x = -20, obtendo x = 5. Verificação: √(25 - 16) = √9 = 3 e 5 - 2 = 3 (válido). Solução: S = {5}.

√(x + 13) - √(x + 1) = 2

Isole: √(x + 13) = 2 + √(x + 1). Ao quadrado: x + 13 = 4 + 4√(x + 1) + x + 1. Simplifique: 8 = 4√(x + 1), logo √(x + 1) = 2. Ao quadrado: x + 1 = 4, logo x = 3. Teste: √16 - √4 = 4 - 2 = 2. S = {3}.

√(2x + 9) = x + 3

Eleve ao quadrado: 2x + 9 = (x + 3)² = x² + 6x + 9. Reorganize: x² + 4x = 0, obtendo raízes x = 0 e x = -4. Teste x = -4: √1 = -1 (falso). Teste x = 0: √9 = 3 (verdadeiro). Solução: S = {0}.