Estatística Básica: Média, Mediana, Moda e Desvio Padrão

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Média aritmética simples

Soma de todos os valores dividida pelo número total de observações: x̄ = (∑xi) / n.

Média aritmética ponderada

Soma dos produtos de cada valor pelo seu respectivo peso, dividida pela soma dos pesos: x̄p = (∑(xi * wi)) / (∑wi).

Média geométrica

Raiz n-ésima do produto de n termos positivos: G = (x1 * x2 * ... * xn)^(1/n).

Média harmônica

Número de elementos dividido pela soma dos inversos dos valores: H = n / ∑(1/xi).

Mediana (conceito)

Valor central que divide um conjunto de dados ordenados (rol) em duas metades iguais de 50% cada.

Mediana para número ímpar de elementos

Elemento localizado exatamente na posição (n + 1) / 2 após a ordenação do conjunto.

Mediana para número par de elementos

Média aritmética dos dois elementos centrais nas posições n/2 e (n/2) + 1 no rol ordenado.

Moda (Mo)

Valor ou elemento que ocorre com maior frequência absoluta dentro de um conjunto de dados.

Conjunto amodal

Conjunto de dados no qual nenhum valor se repete com frequência maior do que os outros.

Conjunto bimodal

Conjunto de dados que apresenta exatamente dois valores distintos empatados com a maior frequência.

Conjunto multimodal

Distribuição ou conjunto que apresenta três ou mais valores com a frequência máxima observada.

Desvio em relação à média

Diferença algébrica entre um valor individual e a média do conjunto: di = xi - x̄.

Soma dos desvios em relação à média

Propriedade matemática fundamental que estabelece que a soma de todos os desvios é zero: ∑(xi - x̄) = 0.

Variância populacional (σ²)

Média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média populacional: σ² = ∑(xi - μ)² / N.

Variância amostral (s²)

Soma dos quadrados dos desvios dividida por n - 1 (correção de Bessel): s² = ∑(xi - x̄)² / (n - 1).

Desvio padrão populacional (σ)

Raiz quadrada positiva da variância populacional: σ = √(∑(xi - μ)² / N).

Desvio padrão amostral (s)

Raiz quadrada positiva da variância amostral: s = √(∑(xi - x̄)² / (n - 1)).

Amplitude total

Diferença simples entre o valor máximo e o valor mínimo de uma distribuição: AT = x_max - x_min.

Coeficiente de variação (CV)

Medida de dispersão relativa expressa em porcentagem: CV = (s / x̄) * 100%.

Efeito de somar uma constante à média

Se somarmos uma constante c a todos os valores, a nova média será a média original mais c: x̄_novo = x̄ + c.

Efeito de multiplicar uma constante pela média

Se multiplicarmos todos os valores por c, a nova média será multiplicada por c: x̄_novo = c * x̄.

Efeito de somar uma constante ao desvio padrão

Somar uma constante a todos os valores não altera a dispersão: o desvio padrão permanece o mesmo.

Efeito de multiplicar uma constante pelo desvio padrão

Multiplicar todos os valores por c faz o desvio padrão ser multiplicado pelo módulo de c: s_novo = |c| * s.

Efeito de somar uma constante à variância

A variância não se altera quando uma constante fixa é somada a todos os dados da amostra.

Efeito de multiplicar uma constante pela variância

Multiplicar todos os valores por c multiplica a variância pelo quadrado da constante: s²_novo = c² * s².

Sensibilidade a outliers (Média vs Mediana)

A média é fortemente afetada por valores extremos, enquanto a mediana é uma medida robusta e resistente.

Graus de liberdade na variância amostral

Representado por n - 1, reflete o número de desvios independentes após o cálculo prévio da média amostral.

Desvio médio absoluto (DMA)

Média aritmética dos valores absolutos dos desvios em relação à média: DMA = (∑|xi - x̄|) / n.

Primeiro quartil (Q1)

Valor que separa os 25% menores dados da distribuição ordenada; percentil 25.

Segundo quartil (Q2)

Equivalente exato à mediana da distribuição, separando 50% dos dados ordenados.

Terceiro quartil (Q3)

Valor que separa os 75% menores dados da distribuição ordenada; percentil 75.

Intervalo interquartil (IQR)

Medida de dispersão calculada pela diferença entre o terceiro e o primeiro quartil: IQR = Q3 - Q1.

Identificação de outlier via IQR

Valores menores que Q1 - 1,5*IQR ou maiores que Q3 + 1,5*IQR são considerados discrepantes.

Moda bruta em dados agrupados

Ponto médio da classe de maior frequência na tabela de distribuição de frequências.

Moda de Czuber (fórmula)

Mo = l_inf + [Δ1 / (Δ1 + Δ2)] * h, onde Δ1 = f_mo - f_ant e Δ2 = f_mo - f_post.

Mediana em classes agrupadas

Md = l_inf + [(n/2 - F_ant) / f_md] * h, onde F_ant é a frequência acumulada anterior.

Distribuição simétrica

Distribuição ideal em que as medidas de tendência central coincidem: Média = Mediana = Moda.

Assimetria positiva (à direita)

Distribuição com cauda longa à direita, onde geralmente se verifica: Moda < Mediana < Média.

Assimetria negativa (à esquerda)

Distribuição com cauda longa à esquerda, onde geralmente se verifica: Média < Mediana < Moda.

Unidade de medida do desvio padrão

Expressa rigorosamente na mesma unidade de medida da variável original dos dados.

Unidade de medida da variância

Expressa na unidade dos dados originais elevada ao quadrado (ex: metros quadrados, kg²).

Escore padrão (Z-score)

Número de desvios padrão que um valor se afasta da média: z = (x - μ) / σ.

Regra empírica: 1 desvio padrão

Na curva normal, aproximadamente 68,26% das observações estão no intervalo μ ± 1σ.

Regra empírica: 2 desvios padrão

Na curva normal, aproximadamente 95,44% das observações situam-se no intervalo μ ± 2σ.

Regra empírica: 3 desvios padrão

Na curva normal, aproximadamente 99,73% das observações encontram-se no intervalo μ ± 3σ.

Fórmula simplificada da variância

Cálculo alternativo prático: Var(X) = E[X²] - (E[X])², a média dos quadrados menos o quadrado da média.

Mediana de dados ordinais

Aplicável a categorias ordenadas, indicando a categoria intermediária central da contagem.

Vantagem da moda

Única medida de tendência central aplicável a variáveis qualitativas puramente nominais.

Erro padrão da média

Estimativa do desvio padrão da média amostral: EP = s / √n.

Relação de Pearson para assimetria

Relação empírica para curvas moderadamente assimétricas: Média - Moda ≈ 3 * (Média - Mediana).

Média truncada (trimmed mean)

Média calculada após descartar uma porcentagem fixa dos menores e maiores valores do conjunto.

Desvio padrão de uma constante

Se todos os valores do conjunto forem idênticos a uma constante, o desvio padrão é zero.