Fórmulas de Estatística

Cartões · 51

Média Aritmética Amostral

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, onde x_i são os valores observados e n é o tamanho da amostra.

Média Aritmética Populacional

\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i, onde N representa o total de elementos da população.

Média Ponderada

\bar{x}_p = \frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}, onde w_i é o peso associado a cada observação x_i.

Média Geométrica

G = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{1/n}, aplicada para taxas e fatores multiplicativos de n valores positivos.

Média Harmônica

H = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}, usada para médias de razões (ex: velocidades), com x_i > 0.

Amplitude Total

R = x_{\max} - x_{\min}, onde x_{\max} é o maior valor e x_{\min} é o menor valor do conjunto de dados.

Variância Amostral

s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2, com correção de Bessel (n-1) para estimador não enviesado.

Variância Populacional

\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2, onde N é a população e \mu a média populacional.

Desvio Padrão Amostral

s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}, raiz quadrada da variância amostral.

Desvio Padrão Populacional

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}, raiz quadrada da variância da população.

Desvio Médio Absoluto (MAD)

MAD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - \bar{x}|, mede a dispersão média das distâncias absolutas até a média.

Coeficiente de Variação (CV)

CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%, razão adimensional entre desvio padrão e média expressa em porcentagem.

Intervalo Interquartil (IQR)

IQR = Q_3 - Q_1, diferença entre o terceiro quartil (75%) e o primeiro quartil (25%).

Escore Z (Padronização)

z = \frac{x - \mu}{\sigma}, número de desvios padrão que o valor x se afasta da média populacional \mu.

Covariância Amostral

s_{xy} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}), mede a covariabilidade linear entre x e y.

Coeficiente de Correlação de Pearson

r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}, varia entre -1 e +1.

Coeficiente de Assimetria de Fisher-Pearson

g_1 = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^3, indica assimetria à direita (>0) ou esquerda (<0).

Coeficiente de Curtose Amostral (Excesso)

k = \left[ \frac{1}{n} \sum \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^4 \right] - 3, compara o peso das caudas com a Gaussiana.

Probabilidade de Eventos Complementares

P(A^c) = 1 - P(A), probabilidade do evento não ocorrer dado que o espaço amostral totaliza 1.

Regra da Adição de Probabilidades

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B), probabilidade da união de dois eventos não disjuntos.

Probabilidade Condicional

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, probabilidade de A dado que B ocorreu, para P(B) > 0.

Regra da Multiplicação para Eventos Independentes

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B), válida quando a ocorrência de um evento não afeta o outro.

Teorema de Bayes

P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}, atualiza a probabilidade a priori P(A) após observar a evidência B.

Valor Esperado de Variável Aleatória Discreta

E[X] = \sum x \cdot P(X = x), média ponderada dos possíveis valores de X por suas probabilidades.

Variância de Variável Aleatória Discreta

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \sum (x - E[X])^2 P(X = x), mede a dispersão de X ao redor da esperança.

Distribuição Binomial (Função de Massa)

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, com k sucessos em n ensaios independentes sob probabilidade p.

Média e Variância da Binomial

\mu = np \quad \text{e} \quad \sigma^2 = np(1-p), onde n é o número de tentativas e p o sucesso.

Distribuição de Poisson

P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, modela contagens com taxa média \lambda de ocorrência por intervalo.

Distribuição Geométrica

P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, probabilidade de obter o primeiro sucesso exatamente na k-ésima tentativa.

Função Densidade da Distribuição Normal

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, curva de sino com média \mu e desvio \sigma.

Distribuição Exponencial (Densidade)

f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \ge 0), modela o tempo até o primeiro evento com taxa média \lambda.

Erro Padrão da Média (SEM)

SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, desvio padrão da distribuição amostral da média para amostras de tamanho n.

Intervalo de Confiança para a Média (\sigma conhecido)

IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, intervalo baseado na distribuição normal padrão Z.

Intervalo de Confiança para a Média (\sigma desconhecido)

IC = \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}, utiliza a distribuição t de Student com n - 1 graus de liberdade.

Intervalo de Confiança para Proporção Amostral

IC = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}, onde \hat{p} é a proporção amostral calculada.

Estatística Z para Teste de Uma Média

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}, testa se a média amostral difere de \mu_0 com \sigma populacional conhecido.

Estatística t para Teste de Uma Média

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}, segue distribuição t com n - 1 graus de liberdade com desvio amostral s.

Teste t para Duas Amostras Pareadas

t = \frac{\bar{d} - \mu_d}{s_d / \sqrt{n}}, onde \bar{d} é a média das diferenças pareadas e s_d seu desvio padrão.

Teste t para Duas Amostras Independentes (Variâncias Iguais)

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}, onde s_p é o desvio padrão agrupado (pooled).

Variância Agrupada (Pooled Variance)

s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}, média ponderada das variâncias de duas amostras.

Teste Qui-Quadrado de Aderência ou Independência

\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}, onde O_i é a frequência observada e E_i é a frequência esperada sob H0.

Frequência Esperada em Tabelas de Contingência

E_{ij} = \frac{(\text{Total Linha } i) \times (\text{Total Coluna } j)}{N}, para testes qui-quadrado de independência.

Estatística F da ANOVA

F = \frac{MS_{entre}}{MS_{dentro}}, razão entre quadrados médios entre grupos e dentro dos grupos.

Reta de Regressão Linear Simples

\hat{y} = \beta_0 + \beta_1 x, onde \beta_0 é o intercepto e \beta_1 o coeficiente angular de inclinação.

Estimador MCO da Inclinação (\beta_1)

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{s_{xy}}{s_x^2}, inclinação por mínimos quadrados.

Estimador MCO do Intercepto (\beta_0)

\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}, ponto onde a reta estimada intercepta o eixo vertical y.

Coeficiente de Determinação (R²)

R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} = \frac{SS_{reg}}{SS_{tot}}, proporção da variabilidade de y explicada pelo modelo x.

Soma dos Quadrados Total (SST)

SS_{tot} = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2, dispersão total da variável dependente em torno de sua média.

Soma dos Quadrados dos Resíduos (SSE)

SS_{res} = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2, variação não explicada pela reta ajustada do modelo linear.

Tamanho Amostral para Média com Margem de Erro E

n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2, dimensiona a amostra para erro absoluto máximo E.

Tamanho Amostral para Proporção com Margem de Erro E

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1 - p)}{E^2}, usa-se p = 0.5 para cenário conservador de variância máxima.