Probabilidade Matemática

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Experimento aleatório

Processo cujo resultado exato não pode ser previsto antes de sua realização, mesmo quando repetido sob idênticas condições.

Espaço amostral (S ou Ω)

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplo: lançamento de moeda, S = {cara, coroa}.

Evento

Qualquer subconjunto do espaço amostral. Representado por A ⊆ Ω.

Evento simples ou elementar

Evento composto por exatamente um único ponto amostral de Ω. Exemplo: A = {3} no lançamento de um dado.

Evento certo

Evento que coincide com todo o espaço amostral Ω; ocorre com 100% de certeza. P(Ω) = 1.

Evento impossível

Evento representado pelo conjunto vazio ∅; nunca ocorre. P(∅) = 0.

Espaço amostral equiprovável

Espaço amostral finito em que todos os eventos elementares têm a mesma probabilidade de ocorrência: P(ω_i) = 1/n.

Definição clássica de probabilidade (Laplace)

Razão entre o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis: P(A) = n(A) / n(Ω).

Primeiro axioma de Kolmogorov (não-negatividade)

Para qualquer evento A contido em Ω, a probabilidade é não-negativa: P(A) ≥ 0.

Segundo axioma de Kolmogorov (certeza)

A probabilidade de ocorrência do espaço amostral total é igual a um: P(Ω) = 1.

Terceiro axioma de Kolmogorov (aditividade)

Para eventos mutuamente exclusivos A e B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Para infinitos disjuntos: P(∪ A_i) = ∑ P(A_i).

Intervalo de probabilidade

Para qualquer evento A, a probabilidade varia entre zero e um, inclusive: 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Evento complementar (A')

Evento que ocorre se e somente se A não ocorre: A' = Ω \ A. Fórmula: P(A') = 1 - P(A).

União de eventos (A ∪ B)

Evento que ocorre quando pelo menos um dos eventos A ou B ocorre (A ou B).

Interseção de eventos (A ∩ B)

Evento que ocorre quando ambos os eventos A e B ocorrem simultaneamente (A e B).

Regra da adição (geral)

Probabilidade da união de dois eventos arbitrários: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Eventos mutuamente exclusivos (disjuntos)

Eventos que não podem ocorrer simultaneamente: A ∩ B = ∅, logo P(A ∩ B) = 0 e P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Diferença de eventos (A \ B)

Evento que consiste na ocorrência de A sem a ocorrência de B: P(A \ B) = P(A) - P(A ∩ B).

Probabilidade condicional

Probabilidade de A ocorrer dado que B já ocorreu (com P(B) > 0): P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).

Regra da multiplicação

Fórmula para a probabilidade da interseção entre dois eventos: P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B) = P(A) * P(B|A).

Eventos independentes

Dois eventos onde a ocorrência de um não afeta a do outro: P(A|B) = P(A), o que implica P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

Partição do espaço amostral

Coleção de eventos mutuamente exclusivos cuja união é Ω: A_i ∩ A_j = ∅ (para i ≠ j) e ∪ A_i = Ω.

Teorema da probabilidade total

Calcula a probabilidade de um evento B a partir de uma partição {A_i}: P(B) = ∑ [P(A_i) * P(B|A_i)].

Teorema de Bayes

Atualiza a probabilidade a priori de A_k dado o evento observado B: P(A_k|B) = [P(A_k) * P(B|A_k)] / ∑ [P(A_i) * P(B|A_i)].

Odds (chances a favor)

Razão entre a probabilidade de um evento ocorrer e a probabilidade de não ocorrer: Odds(A) = P(A) / (1 - P(A)).

Variável aleatória (VA)

Função que associa cada elemento do espaço amostral Ω a um número real: X: Ω -> ℝ.

Variável aleatória discreta

Variável aleatória cujo conjunto de valores possíveis é finito ou infinito enumerável.

Função de probabilidade (PMF)

Mapeia cada valor x de uma VA discreta à sua probabilidade: p(x) = P(X = x), onde p(x) ≥ 0 e ∑ p(x) = 1.

Variável aleatória contínua

Variável aleatória que pode assumir qualquer valor em um intervalo contínuo de números reais; P(X = x) = 0 para todo x.

Função densidade de probabilidade (PDF)

Função f(x) ≥ 0 tal que P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a até b] f(x) dx e ∫[-∞ até +∞] f(x) dx = 1.

Função de distribuição acumulada (CDF)

Mede a probabilidade acumulada até um valor x: F(x) = P(X ≤ x). É monótona não decrescente e varia de 0 a 1.

Esperança matemática (Média de VA discreta)

Valor médio esperado ponderado pelas probabilidades: E[X] = μ = ∑ [x * P(X = x)].

Esperança matemática (Média de VA contínua)

Valor médio esperado obtido por integração da PDF ponderada: E[X] = μ = ∫[-∞ até +∞] x * f(x) dx.

Linearidade da esperança

Propriedade válida para quaisquer constantes a, b e VAs X, Y: E[aX + bY] = a*E[X] + b*E[Y].

Variância de uma variável aleatória (Var(X))

Medida de dispersão em relação à média: Var(X) = σ² = E[(X - μ)²] = E[X²] - (E[X])².

Propriedades da variância

Para constantes a e b: Var(aX + b) = a² * Var(X). Para X e Y independentes: Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y).

Desvio padrão

Raiz quadrada positiva da variância, mantendo a mesma unidade dos dados: σ = √Var(X).

Covariância (Cov(X, Y))

Mede o grau de dependência linear entre duas variáveis aleatórias: Cov(X, Y) = E[(X - μ_X)(Y - μ_Y)] = E[XY] - E[X]E[Y].

Coeficiente de correlação linear (ρ)

Versão normalizada da covariância: ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ_X * σ_Y), variando estritamente em [-1, 1].

Distribuição de Bernoulli

Modela um experimento com apenas dois desfechos (sucesso/fracasso): P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p; E[X] = p; Var(X) = p(1-p).

Distribuição Binomial

Modela o total de sucessos k em n ensaios de Bernoulli independentes: P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k); E[X] = np.

Distribuição Geométrica

Modela o número de ensaios até a obtenção do 1º sucesso: P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p; E[X] = 1/p.

Distribuição de Poisson

Modela a contagem de ocorrências raras em intervalo contínuo de taxa λ: P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!; E[X] = Var(X) = λ.

Distribuição Uniforme Contínua

Densidade constante no intervalo [a, b]: f(x) = 1 / (b - a); E[X] = (a + b) / 2; Var(X) = (b - a)² / 12.

Distribuição Exponencial

Modela o tempo de espera até o primeiro evento em processo de Poisson com taxa λ: f(x) = λ * e^(-λx) (x ≥ 0); E[X] = 1/λ.

Propriedade de perda de memória

Característica exclusiva das distribuições geométrica e exponencial: P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

Distribuição Normal (Gaussiana)

Curva simétrica em sino parametrizada por μ e σ²: f(x) = [1 / (σ√(2π))] * e^(-(x-μ)² / (2σ²)).

Padronização da Normal (Escore Z)

Conversão da variável normal X ~ N(μ, σ²) para a normal padrão Z ~ N(0, 1): Z = (X - μ) / σ.

Desigualdade de Markov

Limite superior para VA não-negativa X com a > 0: P(X ≥ a) ≤ E[X] / a.

Desigualdade de Chebyshev

Limite de dispersão em torno da média para k > 0: P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1 / k².

Lei dos Grandes Números (Fraca)

Afirma que a média amostral de n variáveis i.i.d. converge em probabilidade para a média populacional μ quando n -> ∞.

Teorema Central do Limite (TCL)

A soma ou média de n variáveis i.i.d. com média μ e variância finita σ² aproxima-se de uma normal N(μ, σ²/n) para n grande.