Probabilidades

Cartões · 52

Espaço Amostral (S ou Ω)

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Evento

Qualquer subconjunto do espaço amostral S, podendo ser simples, composto, certo ou impossível.

Primeiro Axioma de Kolmogorov

Para qualquer evento A, a probabilidade de A é não-negativa: P(A) >= 0.

Segundo Axioma de Kolmogorov

A probabilidade de ocorrer todo o espaço amostral é unitária: P(S) = 1.

Terceiro Axioma de Kolmogorov

Se A1, A2, ... forem eventos mutuamente exclusivos, P(A1 U A2 U ...) = P(A1) + P(A2) + ...

Probabilidade do Evento Complementar

P(A^c) = 1 - P(A), onde A^c representa o evento que ocorre se e somente se A não ocorre.

Probabilidade do Evento Impossível

P(vazio) = 0, decorrente do axioma complementar aplicado a S.

Regra da Adição (Geral)

Para dois eventos quaisquer A e B: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Eventos Mutuamente Exclusivos

Eventos cuja interseção é vazia (A ∩ B = vazio), implicando P(A ∩ B) = 0.

Probabilidade Condicional P(A|B)

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), definida sob a restrição de que P(B) > 0.

Regra da Multiplicação

P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B) = P(A) * P(B|A).

Eventos Independentes

Dois eventos A e B são independentes se e somente se P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

Independência Condicional

A e B são condicionalmente independentes dado C se P(A ∩ B | C) = P(A|C) * P(B|C).

Lei da Probabilidade Total

Se B1, ..., Bn particionam S, então P(A) = soma de P(Bi) * P(A|Bi) para i de 1 a n.

Teorema de Bayes

P(Bi|A) = [P(Bi) * P(A|Bi)] / [soma de P(Bj) * P(A|Bj)], atualizando probabilidades a priori.

Variável Aleatória Discreta

Variável que assume valores em um conjunto contável ou finito de números reais.

Função de Probabilidade (PMF)

p(x) = P(X = x), onde p(x) >= 0 para todo x e a soma de p(x) sobre todo o suporte é 1.

Função de Distribuição Acumulada (FDA/CDF)

F(x) = P(X <= x), não decrescente, contínua à direita, variando de 0 a 1.

Esperança Matemática (Discreta)

E[X] = soma de x * P(X = x), representando o valor médio ponderado da variável.

Variância de X

Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2, medindo a dispersão em torno da média.

Desvio Padrão

DP(X) = raiz quadrada de Var(X), expresso na mesma unidade de medida da variável X.

Propriedade de Linearidade da Esperança

E[aX + bY + c] = a*E[X] + b*E[Y] + c, válida mesmo que X e Y não sejam independentes.

Variância de Transformação Linear

Var(aX + b) = a^2 * Var(X); a constante somada não afeta a variabilidade.

Variância da Soma de Variáveis Independentes

Se X e Y forem independentes, Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

Covariância

Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y].

Coeficiente de Correlação de Pearson

rho = Cov(X, Y) / [DP(X) * DP(Y)], restrito ao intervalo [-1, 1].

Variável Aleatória Contínua

Variável com suporte não enumerável, onde P(X = c) = 0 para qualquer valor pontual c.

Função Densidade de Probabilidade (PDF)

f(x) >= 0 tal que a integral de f(x)dx de -inf a +inf é igual a 1.

Relação entre PDF e CDF contínua

F(x) é a integral de f(t)dt de -inf a x; f(x) é a derivada dF(x)/dx onde derivável.

Esperança Matemática (Contínua)

E[X] = integral de x * f(x)dx de -infinito a +infinito.

Distribuição de Bernoulli

Modelo com dois resultados (sucesso/fracasso): P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p, com Var(X) = p(1-p).

Distribuição Binomial

X ~ Bin(n, p): soma de n ensaios Bernoulli independentes; E[X] = n*p e Var(X) = n*p*(1-p).

Distribuição Geométrica

Número de ensaios até o 1º sucesso: P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p; possui propriedade de falta de memória.

Propriedade de Falta de Memória

P(X > s + t | X > s) = P(X > t); satisfeita pela Geométrica (discreta) e Exponencial (contínua).

Distribuição de Poisson

P(X=k) = (e^(-lambda) * lambda^k) / k!; descreve contagem de eventos raros; E[X] = Var(X) = lambda.

Distribuição Uniforme Contínua

X ~ U(a, b): densidade f(x) = 1/(b - a) em [a, b]; E[X] = (a+b)/2 e Var(X) = (b-a)^2 / 12.

Distribuição Exponencial

f(x) = lambda * e^(-lambda * x) para x >= 0; E[X] = 1/lambda e Var(X) = 1/lambda^2.

Distribuição Normal (Gaussiana)

Curva simétrica em sino definida por média mu e desvio sigma; notada como X ~ N(mu, sigma^2).

Padronização da Variável Normal (Z)

Z = (X - mu) / sigma, resultando em média 0 e variância 1: Z ~ N(0, 1).

Regra Empírica da Normal (68-95-99.7)

Aproximadamente 68% dos dados estão a 1 sigma da média, 95% a 2 sigmas e 99,7% a 3 sigmas.

Desigualdade de Markov

Para variável não-negativa X e a > 0: P(X >= a) <= E[X] / a.

Desigualdade de Chebyshev

P(|X - mu| >= k*sigma) <= 1 / k^2, fornecendo cota superior válida para qualquer distribuição.

Lei Fraca dos Grandes Números

A média amostral converge em probabilidade para o valor esperado populacional conforme n cresce.

Teorema Central do Limite (TCL)

A soma ou média de variáveis i.i.d. com variância finita tende à distribuição Normal para n grande.

Função Geradora de Momentos (MGF)

M_X(t) = E[e^(tX)]; a n-ésima derivada em t=0 gera o n-ésimo momento E[X^n].

Distribuição Conjunta de (X, Y)

F(x, y) = P(X <= x, Y <= y); descreve o comportamento simultâneo de duas variáveis aleatórias.

Distribuição Marginal

Obtida somando ou integrando a distribuição conjunta sobre todos os valores da outra variável.

Critério de Independência por PDF Conjunta

X e Y são independentes se e somente se f(x, y) = f_X(x) * f_Y(y) para todo x e y.

Combinações e Probabilidade Laplaceana

Em espaços equiprováveis finitos: P(A) = casos favoráveis / casos possíveis = n(A) / n(S).

Princípio da Inclusão-Exclusão

P(A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC), estendido para n eventos.

Distribuição Hipergeométrica

Modela amostragens sem reposição de uma população finita dividida em dois grupos de interesse.

Monotonicidade da Probabilidade

Se A é subconjunto de B, então P(A) <= P(B) e P(B - A) = P(B) - P(A).