Probabilidades 2

Cartões · 50

Espaço Amostral (S ou Ω)

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Evento Aleatório

Qualquer subconjunto do espaço amostral, representando uma coleção de desfechos favoráveis.

Axioma da Não-Negatividade (Kolmogorov)

A probabilidade de qualquer evento A é sempre maior ou igual a zero: P(A) ≥ 0.

Axioma da Certeza (Kolmogorov)

A probabilidade de todo o espaço amostral ocorrer é exatamente 1: P(Ω) = 1.

Axioma da Aditividade (Kolmogorov)

Para eventos mutuamente exclusivos A e B, a probabilidade da união é a soma das probabilidades: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Probabilidade Clássica (Laplace)

P(A) = número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis, exigindo desfechos equiprováveis.

Probabilidade do Evento Complementar

A probabilidade de A não ocorrer é 1 menos a probabilidade de A ocorrer: P(A') = 1 - P(A).

Probabilidade do Evento Impossível

O conjunto vazio representa o evento impossível e sua probabilidade é estritamente zero: P(∅) = 0.

Regra da Adição Geral

Para quaisquer dois eventos A e B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois eventos que não podem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, sua interseção é nula: A ∩ B = ∅ e P(A ∩ B) = 0.

Probabilidade Condicional P(A|B)

Probabilidade de A dado que B ocorreu: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), com a restrição de que P(B) > 0.

Regra da Multiplicação Geral

A probabilidade conjunta de A e B é dada por P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B) ou P(A) * P(B|A).

Eventos Independentes

A ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro; satisfazem P(A ∩ B) = P(A) * P(B) e P(A|B) = P(A).

Teorema da Probabilidade Total

Se B_i particiona o espaço amostral, então P(A) = soma de [P(A|B_i) * P(B_i)] para todos os índices i.

Teorema de Bayes

Calcula a probabilidade a posteriori: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B).

Partição de um Espaço Amostral

Coleção de eventos disjuntos dois a dois cuja união forma todo o espaço amostral Ω.

Variável Aleatória Discreta

Variável cujos valores possíveis formam um conjunto finito ou infinito contável de números reais.

Variável Aleatória Contínua

Variável que pode assumir qualquer valor numérico dentro de um intervalo contínuo de números reais.

Função Massa de Probabilidade (FMP)

Para X discreta, p(x) = P(X = x), satisfazendo p(x) ≥ 0 e a soma de todos os p(x) sendo igual a 1.

Função Densidade de Probabilidade (FDP)

Para X contínua, f(x) ≥ 0 e a integral de f(x) de menos a mais infinito é igual a 1. Não representa P(X = x).

Probabilidade Pontual em Variável Contínua

Para qualquer ponto isolado c em uma distribuição contínua, a probabilidade P(X = c) é sempre igual a 0.

Função de Distribuição Acumulada (FDA)

F(x) = P(X ≤ x); é não-decrescente, contínua à direita e tem limites 0 no infinito negativo e 1 no positivo.

Cálculo de Probabilidade por Intervalo via FDA

A probabilidade em um intervalo aberto à esquerda (a, b] é dada pela diferença das acumuladas: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a).

Esperança Matemática (Média de X Discreta)

Valor esperado dado por E[X] = soma de [x * P(X = x)] sobre todos os valores possíveis de x.

Esperança Matemática (Média de X Contínua)

Valor esperado dado por E[X] = integral de [x * f(x) dx] calculada de menos infinito a mais infinito.

Linearidade da Esperança

Para quaisquer constantes a e b e variáveis X e Y, vale que E[aX + bY] = a*E[X] + b*E[Y], sem exigir independência.

Variância de uma Variável Aleatória Var(X)

Mede a dispersão em torno da média: Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2. É sempre não-negativa.

Desvio Padrão

Raiz quadrada positiva da variância: σ = raiz quadrada de Var(X), mantendo a mesma unidade de medida da variável.

Propriedade da Variância com Constantes

Ao multiplicar por uma constante 'a' e somar 'b': Var(aX + b) = (a^2) * Var(X). A constante aditiva não altera a dispersão.

Variância da Soma de Variáveis Independentes

Se X e Y são estatisticamente independentes, então Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

Covariância Cov(X, Y)

Mede a relação linear conjunta: Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = E[XY] - E[X]*E[Y].

Coeficiente de Correlação de Pearson (ρ)

ρ = Cov(X, Y) / [σ_X * σ_Y]. Mede a força linear padronizada e varia estritamente no intervalo [-1, 1].

Distribuição de Bernoulli

Modela um único experimento com dois desfechos: P(X=1) = p e P(X=0) = 1-p. Média = p; Variância = p(1-p).

Distribuição Binomial

Modela o número de sucessos k em n ensaios de Bernoulli independentes: P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k).

Média e Variância da Binomial

Para X ~ Binomial(n, p), a média esperada é E[X] = n*p e a variância é Var(X) = n*p*(1-p).

Distribuição Geométrica

Modela o número de tentativas até o primeiro sucesso: P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p, para k = 1, 2, 3...

Propriedade de Falta de Memória (Geométrica)

A probabilidade de necessitar mais t tentativas dado que já falhou s não depende de s: P(X > s + t | X > s) = P(X > t).

Distribuição Hipergeométrica

Modela contagens de sucessos em amostragens retiradas sem reposição de uma população finita conhecida.

Distribuição de Poisson

Modela a contagem de ocorrências raras em um intervalo contínuo: P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!. Média = λ e Var(X) = λ.

Distribuição Uniforme Contínua U(a, b)

Densidade constante f(x) = 1/(b-a) para a ≤ x ≤ b. Média = (a+b)/2 e Variância = (b-a)^2 / 12.

Distribuição Exponencial

Modela o tempo de espera entre eventos de Poisson com taxa λ: f(x) = λ * e^(-λx) para x ≥ 0. Média = 1/λ.

Propriedade de Falta de Memória (Exponencial)

Única distribuição contínua onde P(X > s + t | X > s) = P(X > t) para todos os valores s, t ≥ 0.

Distribuição Normal (Gaussiana)

Curva em sino simétrica determinada por média μ e variância σ^2: f(x) = [1/(σ*√(2π))] * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2)).

Regra Empírica da Normal (68-95-99.7)

Aproximadamente 68,3% dos dados caem dentro de ±1σ da média, 95,4% dentro de ±2σ e 99,7% dentro de ±3σ.

Escore Padronizado Z (Distribuição Z)

Conversão para Normal Padrão N(0,1) calculada por Z = (X - μ) / σ, permitindo o uso de tabelas unificadas.

Desigualdade de Markov

Para qualquer variável aleatória X não-negativa e constante a > 0: P(X ≥ a) ≤ E[X] / a.

Desigualdade de Chebyshev

Limita desvios em torno da média: P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1 / k^2, válida para qualquer distribuição com variância finita.

Lei Fraca dos Grandes Números

A média amostral converge em probabilidade para a média populacional à medida que o tamanho n da amostra cresce ao infinito.

Teorema Central do Limite (TCL)

A soma ou média de n variáveis aleatórias i.i.d. com variância finita aproxima-se de uma Normal conforme n tende ao infinito.

Princípio da Inclusão-Exclusão (3 eventos)

P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C) + P(A∩B∩C).