Expressões Algébricas

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O que é uma expressão algébrica?

É uma combinação matemática formada por números, letras (variáveis) e operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação, divisão ou potenciação).

O que é uma variável ou incógnita?

É uma letra ou símbolo que representa um número desconhecido ou um valor que pode variar.

O que é um coeficiente em um termo algébrico?

É o fator numérico que multiplica a parte literal de um termo. Por exemplo, em 5x, o número 5 é o coeficiente.

O que é a parte literal de um termo?

É o conjunto formado pelas letras e seus respectivos expoentes em um termo. Exemplo: em 7x²y, a parte literal é x²y.

O que são termos semelhantes?

São termos que possuem exatamente a mesma parte literal, diferindo apenas pelos seus coeficientes numéricos. Exemplo: 4x² e -3x².

Como somar ou subtrair termos semelhantes?

Mantém-se a parte literal intacta e somam-se ou subtraem-se apenas os seus coeficientes numéricos.

Simplifique: 3x + 5x

Soma-se os coeficientes mantendo a incógnita: (3 + 5)x = 8x.

Simplifique: 7a - 2a + 4a

Opera-se os coeficientes: (7 - 2 + 4)a = (5 + 4)a = 9a.

Simplifique: 4x + 3y - 2x + 5y

Agrupam-se termos semelhantes: (4x - 2x) + (3y + 5y) = 2x + 8y.

Simplifique: 6ab - 9ab

Subtraem-se os coeficientes: (6 - 9)ab = -3ab.

O que é o valor numérico de uma expressão?

É o resultado numérico obtido ao substituir cada variável da expressão por um número real e efetuar os cálculos.

Calcule o valor numérico de 2x + 7 para x = 3

Substitui-se x: 2(3) + 7 = 6 + 7 = 13.

Calcule o valor de x² - 4x + 1 para x = 5

Substitui-se x: 5² - 4(5) + 1 = 25 - 20 + 1 = 5 + 1 = 6.

Calcule o valor de 3a - 2b para a = 4 e b = -1

Substitui-se as letras: 3(4) - 2(-1) = 12 + 2 = 14.

O que é um monômio?

É uma expressão algébrica constituída por apenas um único termo ou produto entre coeficientes e variáveis.

O que é um binômio?

É um polinômio composto pela adição ou subtração de exatamente dois termos não semelhantes. Exemplo: 2x + 3.

O que é um trinômio?

É um polinômio composto pela soma ou subtração de três termos não semelhantes. Exemplo: x² + 5x + 6.

O que é o grau de um monômio?

É a soma dos expoentes de todas as variáveis que compõem sua parte literal. Exemplo: 4x²y³ tem grau 2 + 3 = 5.

O que é o grau de um polinômio?

É dado pelo maior grau entre os monômios que o constituem após simplificar termos semelhantes.

Multiplicação de monômios: (3x) · (4x²)

Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base: (3 · 4) · x^(1+2) = 12x³.

Multiplicação de monômios: (-2a²b) · (5ab³)

Multiplica coeficientes e soma expoentes comuns: (-2 · 5) · a^(2+1) · b^(1+3) = -10a³b⁴.

Divisão de monômios: 15x⁵ / 3x²

Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes: (15/3) · x^(5-2) = 5x³.

Divisão de monômios: -18a³b² / 6ab

Divide números e subtrai expoentes: (-18/6) · a^(3-1) · b^(2-1) = -3a²b.

Potenciação de monômio: (2x³)²

Eleva o coeficiente e multiplica os expoentes da variável: 2² · x^(3·2) = 4x⁶.

Potenciação de monômio: (-3a²b)³

Eleva cada fator ao cubo: (-3)³ · a^(2·3) · b^(1·3) = -27a⁶b³.

Propriedade distributiva: a(b + c)

Multiplica-se o termo externo por cada elemento de dentro dos parênteses: a · b + a · c.

Expanda: 3(2x + 4)

Aplica-se a distributiva: 3 · 2x + 3 · 4 = 6x + 12.

Expanda: -2(x - 5)

Distribui o sinal e o valor: -2 · x - (-2 · 5) = -2x + 10.

Expanda: x(x - 7)

Multiplica x por cada termo: x · x - x · 7 = x² - 7x.

Expanda: (x + 2)(x + 3)

Aplica a distributiva dupla: x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.

Expanda: (x - 4)(x + 5)

Distribui os termos: x² + 5x - 4x - 20 = x² + x - 20.

Produto notável: Quadrado da soma (a + b)²

Regra prática: quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo = a² + 2ab + b².

Desenvolva: (x + 3)²

Aplica o quadrado da soma: x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9.

Produto notável: Quadrado da diferença (a - b)²

Regra prática: o quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo = a² - 2ab + b².

Desenvolva: (x - 5)²

Aplica o quadrado da diferença: x² - 2(x)(5) + 5² = x² - 10x + 25.

Produto notável: Produto da soma pela diferença (a + b)(a - b)

Resulta na diferença de dois quadrados: a² - b².

Desenvolva: (x + 4)(x - 4)

Aplica a diferença de quadrados: x² - 4² = x² - 16.

Desenvolva: (2x - 3)(2x + 3)

Aplica a diferença de quadrados: (2x)² - 3² = 4x² - 9.

Fatoração: Fator comum em evidência

Identifica-se o máximo divisor comum numérico e literal de cada termo e coloca-se à frente dos parênteses.

Fatore: 4x + 8

Coloca o 4 em evidência dividindo cada termo por 4: 4(x + 2).

Fatore: 3x² - 6x

Coloca o fator comum 3x em evidência: 3x(x - 2).

Fatore: 5a²b + 10ab²

Identifica o MDC 5ab e isola: 5ab(a + 2b).

Fatoração por agrupamento: ax + ay + bx + by

Fatora termos aos pares: a(x + y) + b(x + y), depois coloca (x + y) em evidência: (a + b)(x + y).

Fatore: x² - 25

Reconhece a diferença de quadrados: (x - 5)(x + 5).

Fatore: 4x² - 9y²

Extrai raízes quadradas de ambos: (2x - 3y)(2x + 3y).

Fatore o trinômio quadrado perfeito: x² + 10x + 25

Como as raízes são x e 5 e 2(x)(5)=10x, fatora-se como: (x + 5)².

Fatore o trinômio quadrado perfeito: x² - 6x + 9

Como as raízes são x e 3 e o meio é negativo: (x - 3)².

O que é uma fração algébrica?

É uma fração na qual o denominador contém ao menos uma variável com expoente não nulo.

Condição de existência de frações algébricas

O denominador da fração nunca pode ser igual a zero, pois divisão por zero é indefinida.

Simplifique a fração algébrica: 6x² / 2x

Divide coeficientes e subtrai potências com x diferente de zero: 3x.

Simplifique a fração: (x² - 9) / (x + 3)

Fatora o numerador em (x - 3)(x + 3) e cancela com o denominador: x - 3 (para x ≠ -3).

Simplifique a fração: (2x + 6) / 4

Fatora o 2 no numerador: 2(x + 3) / 4 = (x + 3) / 2.

Eliminação de parênteses com sinal negativo: -(3x - 5)

Inverte o sinal de todos os termos dentro do parêntese: -3x + 5.

Simplifique: 5x - (2x - 7)

Muda os sinais internos e reduz termos: 5x - 2x + 7 = 3x + 7.

Simplifique: 2(x + 1) - 3(x - 2)

Distribui e agrupa termos semelhantes: 2x + 2 - 3x + 6 = -x + 8.