Fatorial e Permutação Simples (2º Ano)

Cartões · 50

O que é um algoritmo na matemática?

Sequência finita e ordenada de passos lógicos e não ambíguos para resolver um problema ou executar um cálculo.

Qual é o Princípio Fundamental da Contagem (PFC)?

Se uma decisão pode ser tomada de m modos e outra de n modos independentes, ambas podem ser tomadas de m × n modos.

Definição matemática de fatorial (n!)

Produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n, para n natural maior ou igual a 1.

Fórmula recursiva do fatorial

n! = n × (n - 1)!, para n ≥ 1.

Qual é o valor por definição de 0! (fatorial de zero)?

0! = 1.

Qual é o valor de 1! (fatorial de um)?

1! = 1.

Qual é o valor de 2!?

2! = 2 × 1 = 2.

Qual é o valor de 3!?

3! = 3 × 2 × 1 = 6.

Qual é o valor de 4!?

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Qual é o valor de 5!?

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Qual é o valor de 6!?

6! = 6 × 5! = 720.

Qual é o valor de 7!?

7! = 7 × 6! = 5040.

Como simplificar a fração n! / (n - 1)!?

O resultado é n, pois n! = n × (n - 1)!.

Como simplificar a fração (n + 1)! / n!?

O resultado é n + 1.

Como simplificar 10! / 8!?

10 × 9 = 90.

Como simplificar 7! / (5! × 2!)?

(7 × 6) / 2 = 21.

Qual é o domínio do fatorial elementar?

Conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, ...}.

Existe fatorial de número negativo no ensino médio?

Não, o fatorial só é definido para números inteiros não negativos.

O que é uma permutação simples?

Agrupamento ordenado formado por todos os n elementos distintos de um conjunto dado.

Qual é a fórmula da permutação simples de n elementos (Pn)?

Pn = n!

Na permutação simples, a ordem dos elementos importa?

Sim, mudar a ordem dos elementos gera um agrupamento diferente.

Na permutação simples, todos os elementos são utilizados?

Sim, todos os n elementos distintos participam de cada agrupamento.

O que é um anagrama?

Transposição das letras de uma palavra para formar outra palavra, com ou sem sentido real.

Quantos anagramas possui a palavra AMOR?

P4 = 4! = 24 anagramas distintos.

Quantos anagramas possui a palavra LIVRO?

P5 = 5! = 120 anagramas distintos.

Quantos anagramas possui a palavra BRASIL?

P6 = 6! = 720 anagramas distintos.

Quantos anagramas da palavra LIVRO começam com a letra L?

Fixando L na primeira posição, permuta-se o restante: P4 = 4! = 24.

Quantos anagramas de LIVRO começam por consoante?

Há 3 consoantes (L, V, R) para a 1ª vaga e 4! para as demais: 3 × 24 = 72.

Quantos anagramas de AMOR têm as letras A e M sempre juntas nessa ordem?

Tratando (AM) como 1 bloco só com O e R: P3 = 3! = 6 anagramas.

Quantos anagramas de AMOR têm as letras A e M juntas em qualquer ordem?

O bloco permuta internamente (2!): P3 × 2! = 6 × 2 = 12 anagramas.

De quantas maneiras 5 pessoas podem formar uma fila?

P5 = 5! = 120 maneiras diferentes.

De quantas maneiras 4 livros distintos podem ser organizados numa estante?

P4 = 4! = 24 maneiras diferentes.

Em uma fila de 5 pessoas, se 2 pessoas específicas devem ficar juntas, quantas são as filas?

Considerando o par como 1 bloco: 4! × 2! = 24 × 2 = 48 maneiras.

O que é uma permutação circular de n elementos (PCn)?

Arranjo ordenado de n elementos dispostos ao longo de um círculo fechado.

Qual é a fórmula da permutação circular (PCn)?

PCn = (n - 1)!

De quantas maneiras 5 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa redonda?

PC5 = (5 - 1)! = 4! = 24 maneiras.

O que é uma permutação com elementos repetidos?

Permutação de n elementos onde alguns itens se repetem a, b, c vezes.

Fórmula da permutação com repetição (P_n^(a,b,...))

P_n^(a,b,...) = n! / (a! × b! × ...)

Quantos anagramas tem a palavra ARARA?

Total 5 letras (3 A e 2 R): 5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 10.

Quantos anagramas tem a palavra CASA?

Total 4 letras (2 A): 4! / 2! = 24 / 2 = 12 anagramas.

Qual a diferença central entre permutação e combinação?

Na permutação a ordem dos elementos altera o agrupamento; na combinação, não altera.

Qual a diferença entre permutação e arranjo simples?

Na permutação usam-se todos os n elementos; no arranjo escolhe-se uma parte p de n (p < n).

Como resolver a equação fatorial: (n + 1)! = 6 × n!?

(n + 1) × n! = 6 × n! implica n + 1 = 6, logo n = 5.

Como resolver a equação fatorial: n! / (n - 2)! = 20?

n × (n - 1) = 20, resultando na equação n² - n - 20 = 0, cuja solução válida é n = 5.

Como resolver a equação: Pn = 720?

n! = 720; como 6! = 720, temos n = 6.

O que é um algoritmo iterativo para cálculo de fatorial?

Algoritmo que utiliza um laço de repetição multiplicando um acumulador de 1 até n.

O que é um algoritmo recursivo para cálculo de fatorial?

Algoritmo cuja função chama a si mesma calculando n × fatorial(n - 1), com caso base fatorial(0) = 1.

Qual é a complexidade de tempo de calcular n! por iteração simples?

Complexidade O(n), realizando n multiplicações consecutivas.

Quantos dígitos zero há no final de 10!?

2 zeros, obtidos dividindo 10 por 5: floor(10/5) = 2 fatores de 5.

Em algoritmos de busca e ordenação, por que a complexidade O(n!) é indesejada?

Porque o crescimento fatorial é extremamente rápido, tornando o algoritmo inviável para valores pequenos de n.