Função Afim e Função Inversa 2

Cartões · 32

Definição de função afim

Função polinomial de 1º grau expressa por f(x) = ax + b, com a e b reais e a diferente de zero.

Forma geral da função afim

f(x) = ax + b ou y = ax + b.

Significado do coeficiente 'a' na função afim

Coeficiente angular ou taxa de variação. Define a inclinação da reta no gráfico.

Significado do coeficiente 'b' na função afim

Coeficiente linear. Indica o ponto de interseção da reta com o eixo vertical y, isto é, (0, b).

Fórmula do coeficiente angular dados (x1, y1) e (x2, y2)

a = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Classificação da função afim quando a > 0

Função estritamente crescente: à medida que x aumenta, f(x) também aumenta.

Classificação da função afim quando a < 0

Função estritamente decrescente: à medida que x aumenta, f(x) diminui.

Definição de função linear

Caso particular de função afim em que b = 0, dada por f(x) = ax. Seu gráfico passa pela origem (0,0).

Definição de função constante

Função dada por f(x) = b (onde a = 0). O gráfico é uma reta horizontal paralela ao eixo x.

Definição de função identidade

Caso de função afim onde a = 1 e b = 0, ou seja, f(x) = x. A reta é a bissetriz dos quadrantes ímpares.

Representação gráfica da função afim

Uma linha reta oblíqua no plano cartesiano.

Cálculo da raiz ou zero da função afim

Faz-se f(x) = 0: ax + b = 0 resulta em x = -b / a. É onde a reta cruza o eixo x.

Ponto de interseção da função afim com o eixo x

Ponto com coordenadas (-b / a, 0).

Ponto de interseção da função afim com o eixo y

Ponto com coordenadas (0, b).

Estudo do sinal de f(x) = ax + b com a > 0

f(x) < 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) > 0 para x > -b/a.

Estudo do sinal de f(x) = ax + b com a < 0

f(x) > 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) < 0 para x > -b/a.

Como determinar a equação afim a partir de dois pontos

Calcule a = (y2 - y1) / (x2 - x1) e depois substitua um dos pontos em y = ax + b para isolar b.

Definição de função injetora

Elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio: f(x1) = f(x2) implica x1 = x2.

Definição de função sobrejetora

O conjunto imagem é estritamente igual ao conjunto contradomínio: Im(f) = CD(f).

Definição de função bijetora

Função que é simultaneamente injetora e sobrejetora. É a condição necessária para admitir inversa.

Condição para uma função admitir inversa

A função deve ser bijetora em todo o seu domínio e contradomínio considerados.

Definição formal de função inversa

Se f: A -> B é bijetora, sua inversa f^(-1): B -> A é tal que f^(-1)(y) = x se e somente se f(x) = y.

Notação matemática de função inversa

Representada por f^(-1)(x). Atenção: f^(-1)(x) é diferente de 1 / f(x).

Propriedade da composição com a função inversa

f(f^(-1)(x)) = x para todo x em B, e f^(-1)(f(x)) = x para todo x em A.

Passo a passo para encontrar a inversa algebricamente

1. Escreva y = f(x); 2. Troque x por y e y por x; 3. Isole a variável y na equação.

Relação entre domínio e imagem de f e f^(-1)

Dom(f^(-1)) = Im(f) e Im(f^(-1)) = Dom(f).

Simetria gráfica da função inversa

O gráfico de f^(-1) é simétrico ao gráfico de f em relação à reta bissetriz y = x.

Fórmula da função inversa de f(x) = ax + b

f^(-1)(x) = (x - b) / a, válida para todo a diferente de zero.

Inversa da função linear f(x) = ax

f^(-1)(x) = x / a.

Exemplo: Inversa de f(x) = 2x + 6

Trocando: x = 2y + 6 => 2y = x - 6 => f^(-1)(x) = (x - 6) / 2 ou f^(-1)(x) = x/2 - 3.

Exemplo: Inversa de f(x) = 5 - x

Trocando: x = 5 - y => y = 5 - x => f^(-1)(x) = 5 - x (a função é sua própria inversa).

Toda função afim f: R -> R (a ≠ 0) possui inversa?

Sim, pois toda reta não horizontal (a ≠ 0) representa uma bijeção de R em R.