Função Afim e Função Inversa

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Definição de Função Afim

Função polinomial do 1º grau expressa por f(x) = ax + b, com a e b reais e a diferente de zero.

Forma geral da Função Afim

f(x) = ax + b ou y = ax + b, onde 'a' e 'b' são constantes reais.

Coeficiente Angular (a)

Taxa de variação que determina a inclinação da reta; dado por a = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Coeficiente Linear (b)

Valor da ordenada onde a reta intercepta o eixo Y; corresponde ao ponto (0, b).

Função Linear

Caso particular da função afim onde b = 0, dada por f(x) = ax. O gráfico passa pela origem (0, 0).

Função Identidade

Caso da função afim onde a = 1 e b = 0, ou seja, f(x) = x. Cada elemento mapeia a si mesmo.

Função Constante

Função da forma f(x) = b (onde a = 0). O gráfico é uma reta horizontal paralela ao eixo X.

Função Afim Crescente

Ocorre quando a > 0. Conforme os valores de x aumentam, os valores de f(x) também aumentam.

Função Afim Decrescente

Ocorre quando a < 0. Conforme os valores de x aumentam, os valores de f(x) diminuem.

Raiz ou Zero da Função Afim

Valor de x para o qual f(x) = 0. É obtido pela fórmula x = -b / a, ponto onde a reta cruza o eixo X.

Gráfico da Função Afim

Sempre uma reta não paralela aos eixos ordenados (quando a diferente de 0), traçada com dois pontos.

Estudo do sinal: Função Afim (a > 0)

f(x) < 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) > 0 para x > -b/a.

Estudo do sinal: Função Afim (a < 0)

f(x) > 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) < 0 para x > -b/a.

Como achar a equação da reta por dois pontos

1. Calcule a = (y2 - y1) / (x2 - x1); 2. Substitua 'a' e um dos pontos em y - y1 = a(x - x1) para achar 'b'.

Interseção entre duas retas

Iguale as expressões das duas funções (f(x) = g(x)), resolva para x e encontre y substituindo o valor.

Retas Paralelas

Duas retas afins são paralelas quando possuem o mesmo coeficiente angular (a1 = a2) e b1 diferente de b2.

Retas Perpendiculares

Duas retas afins são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares é -1 (a1 * a2 = -1).

Definição de Função Inversa

Função f^(-1) que desfaz a transformação de f, de modo que f^(-1)(f(x)) = x para todo x no domínio.

Condição para existência da Função Inversa

A função original deve ser estritamente bijetora (injetora e sobrejetora) no domínio considerado.

Função Injetora

Função onde elementos distintos do domínio possuem imagens distintas: se x1 != x2, então f(x1) != f(x2).

Função Sobrejetora

Função cujo conjunto imagem é exatamente igual ao seu contradomínio: Im(f) = CD(f).

Função Bijetora

Função simultaneamente injetora e sobrejetora; cada elemento do contradomínio é imagem de um único do domínio.

Passo a passo para achar a Função Inversa

1. Escreva y = f(x); 2. Troque x por y e y por x; 3. Isole a variável y na nova equação para obter f^(-1)(x).

Inversa da Função Afim f(x) = ax + b

Dada por f^(-1)(x) = (x - b) / a, com a diferente de zero.

Domínio e Imagem da Função Inversa

O domínio da inversa é a imagem da original: Dom(f^(-1)) = Im(f). A imagem da inversa é Dom(f).

Composição de Função com sua Inversa

(f o f^(-1))(x) = x e (f^(-1) o f)(x) = x, resultando sempre na função identidade.

Simetria Gráfica da Função Inversa

Os gráficos de f(x) e f^(-1)(x) são reflexões simétricas em relação à reta bissetriz y = x.

Teste da Reta Horizontal

Critério geométrico: uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta o gráfico mais de uma vez.

Exemplo: Inversa de f(x) = 2x + 4

Troque: x = 2y + 4 -> 2y = x - 4 -> y = (x - 4) / 2. Logo, f^(-1)(x) = x/2 - 2.

Exemplo: Inversa de f(x) = 3x - 5

Troque: x = 3y - 5 -> 3y = x + 5 -> y = (x + 5) / 3. Logo, f^(-1)(x) = (x + 5) / 3.

Exemplo: Raiz de f(x) = -4x + 12

Defina f(x) = 0 -> -4x + 12 = 0 -> -4x = -12 -> x = 3. O ponto no gráfico é (3, 0).

Propriedade da Inversa da Inversa

A inversa da função inversa é a função original: (f^(-1))^(-1)(x) = f(x).