Função Afim

Cartões · 52

Definição de função afim

Qualquer função f de reais em reais dada pela lei f(x) = ax + b, com a e b pertencentes aos reais e a diferente de zero.

Forma geral da função afim

f(x) = ax + b ou y = ax + b.

Significado do coeficiente 'a'

Coeficiente angular ou taxa de variação, que determina a inclinação da reta em relação ao eixo x.

Significado do coeficiente 'b'

Coeficiente linear, que representa o ponto onde a reta intercepta o eixo vertical (eixo y).

Representação gráfica da função afim

Uma reta não perpendicular ao eixo x no plano cartesiano.

Domínio da função afim

O conjunto dos números reais (R), a menos que haja restrição explícita de contexto.

Conjunto imagem da função afim (a ≠ 0)

O conjunto dos números reais (R).

Função linear

Caso particular da função afim onde b = 0, dada por f(x) = ax, cujo gráfico passa pela origem (0, 0).

Função identidade

Caso particular da função linear onde a = 1 e b = 0, dada por f(x) = x.

Função constante

Função dada por f(x) = b (onde a = 0), cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo x.

Condição para função afim crescente

O coeficiente angular 'a' deve ser estritamente maior que zero (a > 0).

Condição para função afim decrescente

O coeficiente angular 'a' deve ser estritamente menor que zero (a < 0).

Comportamento de f(x) quando a > 0

Conforme o valor de x aumenta, o valor correspondente de f(x) também aumenta.

Comportamento de f(x) quando a < 0

Conforme o valor de x aumenta, o valor correspondente de f(x) diminui.

Definição de raiz ou zero da função afim

O valor de x que torna a função igual a zero, ou seja, a solução de ax + b = 0.

Fórmula do zero da função afim

x = -b / a.

Interseção com o eixo x

Ocorre no ponto de coordenadas (-b/a, 0).

Interseção com o eixo y

Ocorre no ponto de coordenadas (0, b).

Cálculo do coeficiente angular a partir de dois pontos

a = (y2 - y1) / (x2 - x1) ou delta y dividido por delta x.

Taxa de variação constante

Propriedade fundamental da função afim: a razão de acréscimo de y por acréscimo de x é sempre a mesma.

Relação entre coeficiente angular e trigonometria

O coeficiente angular 'a' é numericamente igual à tangente do ângulo de inclinação da reta com o eixo x positivo.

Ângulo de inclinação quando a > 0

Ângulo agudo, compreendido entre 0 e 90 graus.

Ângulo de inclinação quando a < 0

Ângulo obtuso, compreendido entre 90 e 180 graus.

Ângulo de inclinação quando a = 0

Ângulo nulo (0 grau), caracterizando uma reta horizontal.

Condição de paralelismo entre duas retas afins

Duas funções afins são paralelas se e somente se possuem coeficientes angulares iguais (a1 = a2).

Condição de perpendicularismo entre duas retas afins

Duas retas afins são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é igual a -1 (a1 * a2 = -1).

Retas concorrentes na função afim

Ocorrem quando os coeficientes angulares são diferentes (a1 ≠ a2), cruzando-se em um único ponto.

Retas coincidentes na função afim

Ocorrem quando tanto o coeficiente angular quanto o linear são iguais (a1 = a2 e b1 = b2).

Estudo do sinal para a > 0

f(x) < 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) > 0 para x > -b/a.

Estudo do sinal para a < 0

f(x) > 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) < 0 para x > -b/a.

Equação fundamental da reta ponto-declive

y - y0 = a * (x - x0), usada para determinar a função afim a partir de um ponto e da inclinação.

Número mínimo de pontos para determinar uma reta afim

Dois pontos distintos no plano cartesiano são suficientes e necessários.

Significado prático de 'b' em problemas aplicados

Representa o custo inicial, taxa fixa ou valor de partida independente da quantidade de unidades.

Significado prático de 'a' em problemas aplicados

Representa o custo unitário, taxa variável ou taxa de consumo por unidade produzida ou consumida.

Função afim translação de f(x) = ax

O termo '+ b' provoca um deslocamento vertical de b unidades na reta que passa pela origem.

Propriedade de proporcionalidade na função linear

Na função linear f(x) = ax, dobrar ou triplicar o valor de x dobra ou triplica o valor de f(x).

A função afim geral preserva proporcionalidade estrita?

Não, pois o termo linear b adiciona uma constante; f(2x) ≠ 2*f(x) a menos que b = 0.

Injetividade da função afim (a ≠ 0)

Toda função afim é injetora, pois elementos distintos no domínio geram imagens distintas.

Sobrejetividade da função afim (a ≠ 0)

Toda função afim é sobrejetora em R, pois todo número real é imagem de algum elemento do domínio.

Bijetividade da função afim (a ≠ 0)

Sendo injetora e sobrejetora, a função afim com a ≠ 0 é bijetora em R, admitindo função inversa.

Fórmula da função inversa de f(x) = ax + b

f⁻¹(x) = (x - b) / a.

Gráfico da inversa da função afim

É a reta simétrica ao gráfico original em relação à reta bissetriz dos quadrantes ímpares y = x.

Derivada da função afim f(x) = ax + b

f'(x) = a, confirmando que a inclinação instantânea é constante em todo o domínio.

Integral indefinida da função afim

Integral de (ax + b) dx = (a/2)x² + bx + C.

Coeficiente angular nulo

Indica taxa de variação nula; a função se torna constante e a reta é paralela ao eixo das abscissas.

Coeficiente linear nulo

Indica que a reta intercepta o sistema de eixos no ponto de origem (0, 0).

Inequação afim simples ax + b > 0 (com a > 0)

A solução é o intervalo aberto x > -b/a.

Inequação afim simples ax + b > 0 (com a < 0)

Ao dividir por número negativo o sinal inverte, resultando em x < -b/a.

Interpretação geométrica do ponto de equilíbrio (break-even)

Ponto de interseção entre a reta da receita total e a reta do custo total em modelagem afim.

Composição de duas funções afins

A composição f(g(x)) entre duas funções afins resulta sempre em outra função afim.

Fórmula da composição f(g(x)) para f(x)=a1*x+b1 e g(x)=a2*x+b2

f(g(x)) = (a1 * a2)x + (a1 * b2 + b1).

O que ocorre se a reta for vertical (x = k)?

Não representa uma função de x, pois um único valor de x mapeia infinitos valores de y.