Função do 2º Grau: Gráficos e Propriedades

Cartões · 52

Forma geral da função do 2º grau

f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0.

Formato gráfico da função quadrática

Uma curva simétrica chamada parábola.

O que indica o coeficiente 'a' sobre a concavidade?

Se a > 0, concavidade para cima (U); se a < 0, concavidade para baixo (∩).

Quando a função atinge ponto de mínimo?

Quando a > 0 (parábola voltada para cima), o vértice é o ponto de mínimo absoluto.

Quando a função atinge ponto de máximo?

Quando a < 0 (parábola voltada para baixo), o vértice é o ponto de máximo absoluto.

Fórmula da coordenada X do vértice (Xv)

Xv = -b / (2a).

Fórmula da coordenada Y do vértice (Yv)

Yv = -Δ / (4a).

Significado de Xv em problemas de otimização

É o valor da variável de entrada que gera o resultado máximo ou mínimo.

Significado de Yv em problemas de otimização

É o próprio valor máximo ou mínimo obtido pela função.

Eixo de simetria da parábola

A reta vertical x = -b / (2a) que divide a parábola em duas metades idênticas.

Fórmula do discriminante (Delta, Δ)

Δ = b² - 4ac.

Interpretação de Δ > 0 em relação ao eixo X

A parábola corta o eixo X em dois pontos distintos (duas raízes reais diferentes).

Interpretação de Δ = 0 em relação ao eixo X

A parábola tangencia o eixo X em um único ponto (duas raízes reais e iguais: X = -b/2a).

Interpretação de Δ < 0 em relação ao eixo X

A parábola não toca nem cruza o eixo X (não possui raízes reais).

Significado geométrico do coeficiente 'c'

É a ordenada do ponto onde o gráfico corta o eixo Y, ou seja, no ponto (0, c).

Significado geométrico do coeficiente 'b'

Indica a inclinação da parábola no momento em que ela cruza o eixo Y.

Comportamento se b > 0 ao cruzar o eixo Y

A parábola intercepta o eixo Y crescendo (ramo ascendente).

Comportamento se b < 0 ao cruzar o eixo Y

A parábola intercepta o eixo Y decrescendo (ramo descendente).

Comportamento se b = 0

O vértice fica exatamente sobre o eixo Y (Xv = 0), tornando a parábola simétrica ao eixo Y.

Fórmula de Bhaskara para as raízes

x = (-b ± √Δ) / (2a).

Relação entre raízes e X do vértice

Xv é a média aritmética das raízes: Xv = (x1 + x2) / 2.

Sinal de Y se a > 0 e Δ < 0

Y é positivo (y > 0) para qualquer valor real de x (gráfico totalmente acima do eixo X).

Sinal de Y se a < 0 e Δ < 0

Y é negativo (y < 0) para qualquer valor real de x (gráfico totalmente abaixo do eixo X).

Sinal de Y se a > 0 e Δ = 0

Y é positivo para todo x ≠ Xv, e y = 0 quando x = Xv.

Sinal de Y se a < 0 e Δ = 0

Y é negativo para todo x ≠ Xv, e y = 0 quando x = Xv.

Sinal de Y entre as raízes quando a > 0 e Δ > 0

Y é estritamente negativo entre as raízes (x1 < x < x2).

Sinal de Y fora das raízes quando a > 0 e Δ > 0

Y é positivo para valores de x menores que x1 ou maiores que x2.

Sinal de Y entre as raízes quando a < 0 e Δ > 0

Y é estritamente positivo entre as raízes (x1 < x < x2).

Sinal de Y fora das raízes quando a < 0 e Δ > 0

Y é negativo para valores de x menores que x1 ou maiores que x2.

Conjunto imagem quando a > 0

Im(f) = [Yv, +∞), ou seja, todos os reais maiores ou iguais a Yv.

Conjunto imagem quando a < 0

Im(f) = (-∞, Yv], ou seja, todos os reais menores ou iguais a Yv.

Intervalo de crescimento se a > 0

A função cresce para x ≥ Xv e decresce para x ≤ Xv.

Intervalo de crescimento se a < 0

A função cresce para x ≤ Xv e decresce para x ≥ Xv.

Fórmula da soma das raízes (Relações de Girard)

S = x1 + x2 = -b / a.

Fórmula do produto das raízes (Relações de Girard)

P = x1 · x2 = c / a.

Forma fatorada da função quadrática

f(x) = a(x - x1)(x - x2), onde x1 e x2 são as raízes reais.

Forma canônica da função quadrática

f(x) = a(x - Xv)² + Yv.

O que ocorre com a abertura da parábola se |a| aumenta?

A parábola se estreita (fica mais fechada/comprimida em relação ao eixo de simetria).

O que ocorre com a abertura da parábola se |a| diminui?

A parábola se alarga (fica mais aberta).

O que significa f(0)?

f(0) = c, que representa a ordenada do ponto de corte com o eixo Y.

Como calcular Yv sem decorar a fórmula -Δ/(4a)?

Basta calcular a imagem de Xv, ou seja, Yv = f(Xv).

Posição do vértice em relação ao eixo X se Δ > 0 e a > 0

O vértice fica abaixo do eixo X (Yv < 0), pois a curva precisa subir e cruzar o eixo duas vezes.

Posição do vértice em relação ao eixo X se Δ > 0 e a < 0

O vértice fica acima do eixo X (Yv > 0), pois a curva precisa descer e cruzar o eixo duas vezes.

Posição do vértice se Δ = 0

O vértice repousa exatamente sobre o eixo X (Yv = 0).

Posição do vértice em relação ao eixo X se Δ < 0 e a > 0

O vértice fica estritamente acima do eixo X (Yv > 0).

Posição do vértice em relação ao eixo X se Δ < 0 e a < 0

O vértice fica estritamente abaixo do eixo X (Yv < 0).

Condição para a função quadrática ser sempre estritamente positiva

Deve ter concavidade para cima (a > 0) e não tocar o eixo X (Δ < 0).

Condição para a função quadrática ser sempre estritamente negativa

Deve ter concavidade para baixo (a < 0) e não tocar o eixo X (Δ < 0).

Pontos simétricos de mesma altura f(x1) = f(x2)

Dois pontos com mesmo valor de Y estão equidistantes do vértice: (x1 + x2)/2 = Xv.

Se c = 0, quais são as raízes da função?

Uma das raízes é obrigatoriamente 0 e a outra é dada por x = -b/a.

Se b = 0 e c e 'a' têm mesmo sinal, o que ocorre com as raízes?

Não existem raízes reais, pois x² = -c/a resultaria em número negativo.

Se b = 0 e c e 'a' têm sinais opostos, quais são as raízes?

São raízes simétricas: x = ±√(-c/a).