Função do 2º Grau: Vértice e Sinais

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Definição algébrica geral da função do 2º grau

f(x) = ax² + bx + c, com coeficientes reais a, b e c, sendo obrigatoriamente a ≠ 0.

Fórmula da coordenada X do vértice (Xv)

Xv = -b / (2a). Representa o eixo de simetria da parábola.

Fórmula da coordenada Y do vértice (Yv)

Yv = -Δ / (4a), onde Δ = b² - 4ac. Também pode ser obtido calculando f(Xv).

Fórmula do discriminante (delta) da função quadrática

Δ = b² - 4ac. Determina a quantidade de raízes reais distintas da função.

Significado geométrico de a > 0 na parábola

Concavidade voltada para cima; o vértice V(Xv, Yv) é o ponto de mínimo global da função.

Significado geométrico de a < 0 na parábola

Concavidade voltada para baixo; o vértice V(Xv, Yv) é o ponto de máximo global da função.

Calcule o vértice de f(x) = x² - 4x + 3

a=1, b=-4, c=3. Xv = -(-4)/(2*1) = 2. Yv = 2² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Vértice: (2, -1).

Identifique se o vértice de f(x) = x² - 4x + 3 é ponto de máximo ou mínimo

Como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima, logo o vértice (2, -1) é ponto de mínimo.

Calcule as raízes de f(x) = x² - 4x + 3

Δ = (-4)² - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4. x = (4 ± 2)/2, resultando em x1 = 3 e x2 = 1.

Estudo de sinal de f(x) = x² - 4x + 3

Raízes em x = 1 e x = 3, com a > 0. Positiva para x < 1 ou x > 3; nula para x = 1 ou x = 3; negativa para 1 < x < 3.

Calcule o vértice de f(x) = -x² + 6x - 5

a=-1, b=6, c=-5. Xv = -6 / (2*(-1)) = 3. Yv = -(3)² + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4. Vértice: (3, 4).

Qual é o valor máximo da função f(x) = -x² + 6x - 5?

O valor máximo é a ordenada do vértice Yv = 4, que ocorre quando x = 3.

Calcule as raízes de f(x) = -x² + 6x - 5

-x² + 6x - 5 = 0 implica x² - 6x + 5 = 0. Por soma e produto, as raízes são x1 = 1 e x2 = 5.

Estudo de sinal de f(x) = -x² + 6x - 5

Com a < 0 e raízes 1 e 5: positiva entre as raízes (1 < x < 5), nula em x = 1 e x = 5, negativa para x < 1 ou x > 5.

Calcule o vértice de f(x) = 2x² - 8x + 8

a=2, b=-8, c=8. Xv = 8 / (2*2) = 2. Yv = 2(2)² - 8(2) + 8 = 8 - 16 + 8 = 0. Vértice: (2, 0).

Estudo de sinal de f(x) = 2x² - 8x + 8

Δ = 64 - 64 = 0 (raiz única x = 2). Como a = 2 > 0, f(x) > 0 para todo x ≠ 2 e f(2) = 0. Nunca é negativa.

Calcule o vértice de f(x) = -2x² - 4x - 6

Xv = 4 / (2*(-2)) = -1. Yv = -2(-1)² - 4(-1) - 6 = -2 + 4 - 6 = -4. Vértice: (-1, -4).

Estudo de sinal de f(x) = -2x² - 4x - 6

Δ = 16 - 48 = -32 < 0 (sem raízes reais). Como a = -2 < 0, a parábola está inteira abaixo do eixo x: f(x) < 0 para todo x real.

Calcule o vértice de f(x) = x² - 25

a=1, b=0, c=-25. Xv = -0 / 2 = 0. Yv = 0² - 25 = -25. Vértice: (0, -25).

Estudo de sinal de f(x) = x² - 25

Raízes: x = -5 e x = 5. Como a > 0: f(x) > 0 para x < -5 ou x > 5; f(x) < 0 para -5 < x < 5; f(x) = 0 para x = ±5.

Calcule o vértice de f(x) = -x² + 9

a=-1, b=0, c=9. Xv = -0 / -2 = 0. Yv = -(0)² + 9 = 9. Vértice: (0, 9).

Estudo de sinal de f(x) = -x² + 9

Raízes: x = -3 e x = 3. Com a < 0: f(x) > 0 para -3 < x < 3; f(x) < 0 para x < -3 ou x > 3; f(x) = 0 em x = ±3.

Calcule o vértice de f(x) = x² - 6x

a=1, b=-6, c=0. Xv = 6 / 2 = 3. Yv = 3² - 6(3) = 9 - 18 = -9. Vértice: (3, -9).

Estudo de sinal de f(x) = x² - 6x

Raízes: x(x - 6) = 0 => x = 0 e x = 6. Com a > 0: f(x) > 0 para x < 0 ou x > 6; f(x) < 0 para 0 < x < 6.

Calcule o vértice de f(x) = -3x² + 12x

a=-3, b=12, c=0. Xv = -12 / (2*(-3)) = 2. Yv = -3(4) + 12(2) = -12 + 24 = 12. Vértice: (2, 12).

Estudo de sinal de f(x) = -3x² + 12x

Raízes: -3x(x - 4) = 0 => x = 0 e x = 4. Com a < 0: f(x) > 0 para 0 < x < 4; f(x) < 0 para x < 0 ou x > 4.

Calcule o vértice de f(x) = 3x² - 6x + 5

Xv = 6 / (2*3) = 1. Yv = 3(1)² - 6(1) + 5 = 2. Vértice: (1, 2).

Estudo de sinal de f(x) = 3x² - 6x + 5

Δ = 36 - 4(3)(5) = 36 - 60 = -24 < 0. Como a = 3 > 0, o gráfico nunca toca o eixo x: f(x) > 0 para todo x real.

Calcule o vértice de f(x) = x² + 2x + 1

Xv = -2 / 2 = -1. Yv = (-1)² + 2(-1) + 1 = 0. Vértice: (-1, 0).

Estudo de sinal de f(x) = x² + 2x + 1

f(x) = (x + 1)². A função é nula em x = -1 e estritamente positiva para qualquer outro valor real de x.

Calcule o vértice de f(x) = -x² - 2x - 1

Xv = 2 / (-2) = -1. Yv = -(-1)² - 2(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0. Vértice: (-1, 0).

Estudo de sinal de f(x) = -x² - 2x - 1

f(x) = -(x + 1)². Como a = -1 < 0 e Δ = 0: f(x) = 0 para x = -1 e f(x) < 0 para todo x ≠ -1.

Calcule o vértice de f(x) = 4x² - 16

Xv = 0 / 8 = 0. Yv = 4(0)² - 16 = -16. Vértice: (0, -16).

Estudo de sinal de f(x) = 4x² - 16

Raízes: 4(x² - 4) = 0 => x = ±2. Com a > 0: positiva fora do intervalo [-2, 2], negativa dentro (-2, 2) e nula em x = ±2.

Calcule o vértice de f(x) = -5x² + 20

Xv = 0 / -10 = 0. Yv = -5(0)² + 20 = 20. Vértice: (0, 20).

Estudo de sinal de f(x) = -5x² + 20

Raízes: -5(x² - 4) = 0 => x = ±2. Com a < 0: positiva dentro do intervalo (-2, 2) e negativa fora (x < -2 ou x > 2).

Calcule o vértice de f(x) = x² - 10x + 21

Xv = 10 / 2 = 5. Yv = 5² - 10(5) + 21 = 25 - 50 + 21 = -4. Vértice: (5, -4).

Estudo de sinal de f(x) = x² - 10x + 21

Raízes: (x - 3)(x - 7) = 0 => x = 3 e x = 7. Com a > 0: f(x) < 0 para 3 < x < 7; f(x) > 0 para x < 3 ou x > 7.

Calcule o vértice de f(x) = -x² + 4x + 12

Xv = -4 / -2 = 2. Yv = -(2)² + 4(2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16. Vértice: (2, 16).

Estudo de sinal de f(x) = -x² + 4x + 12

Raízes: -(x - 6)(x + 2) = 0 => x = -2 e x = 6. Com a < 0: f(x) > 0 para -2 < x < 6; f(x) < 0 para x < -2 ou x > 6.

O que indica o coeficiente 'c' no gráfico da parábola?

O coeficiente 'c' indica o ponto onde a curva intercepta o eixo vertical y, no ponto (0, c).

O que indica o sinal do coeficiente 'b' na inclinação ao cruzar o eixo y?

Se b > 0, corta o eixo y subindo; se b < 0, corta descendo; se b = 0, corta no próprio vértice.

Relação entre as raízes x1, x2 e o Xv da parábola

O Xv é o ponto médio aritmético exato das raízes reais: Xv = (x1 + x2) / 2.

Regra prática de sinal para a > 0 com duas raízes x1 < x2

Mesmo sinal de 'a' (positivo) fora das raízes; sinal contrário de 'a' (negativo) entre as raízes.

Regra prática de sinal para a < 0 com duas raízes x1 < x2

Sinal contrário de 'a' (positivo) entre as raízes; mesmo sinal de 'a' (negativo) fora das raízes.

Calcule o vértice de f(x) = 2x² + 12x + 10

Xv = -12 / 4 = -3. Yv = 2(-3)² + 12(-3) + 10 = 18 - 36 + 10 = -8. Vértice: (-3, -8).

Estudo de sinal de f(x) = 2x² + 12x + 10

2(x² + 6x + 5) = 0 => raízes x = -5 e x = -1. Com a > 0: f(x) < 0 para -5 < x < -1; f(x) > 0 para x < -5 ou x > -1.

Calcule o vértice de f(x) = -2x² + 8x - 6

Xv = -8 / -4 = 2. Yv = -2(2)² + 8(2) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2. Vértice: (2, 2).

Estudo de sinal de f(x) = -2x² + 8x - 6

-2(x² - 4x + 3) = 0 => raízes x = 1 e x = 3. Com a < 0: f(x) > 0 para 1 < x < 3; f(x) < 0 para x < 1 ou x > 3.

Conjunto imagem de f(x) = ax² + bx + c quando a > 0

Im(f) = [Yv, +∞), pois a função cresce a partir do seu valor mínimo Yv.

Conjunto imagem de f(x) = ax² + bx + c quando a < 0

Im(f) = (-∞, Yv], pois o valor máximo atingido pela função é Yv.

Calcule a imagem da função f(x) = x² - 4x + 3

Como a = 1 > 0 e Yv = -1, o conjunto imagem é dado por Im(f) = [-1, +∞).

Calcule a imagem da função f(x) = -x² + 6x - 5

Como a = -1 < 0 e Yv = 4, o conjunto imagem é dado por Im(f) = (-∞, 4].