Função e Equação Exponencial

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Resolva: 2^x = 16

Fatore 16 como 2^4. A equação fica 2^x = 2^4. Como as bases são iguais, igualam-se os expoentes: x = 4.

Resolva: 3^(x + 1) = 27

Reescreva 27 na base 3: 27 = 3^3. Fica 3^(x + 1) = 3^3. Igualando expoentes: x + 1 = 3 -> x = 2.

Resolva: 5^(2x - 1) = 125

Fatore 125 como 5^3: 5^(2x - 1) = 5^3. Igualando expoentes: 2x - 1 = 3 -> 2x = 4 -> x = 2.

Resolva: 4^x = 32

Converta para a base 2: (2^2)^x = 2^5 -> 2^(2x) = 2^5. Igualando expoentes: 2x = 5 -> x = 5/2 ou 2,5.

Resolva: 7^x = 1

Reescreva 1 como 7^0: 7^x = 7^0. Como as bases são iguais, igualam-se os expoentes: x = 0.

Resolva: 2^x = 1/8

Reescreva a fração: 1/8 = 1/(2^3) = 2^(-3). Portanto, 2^x = 2^(-3), logo x = -3.

Resolva: (1/3)^x = 81

Escreva ambos na base 3: (3^(-1))^x = 3^4 -> 3^(-x) = 3^4. Igualando expoentes: -x = 4 -> x = -4.

Resolva: 9^(x - 2) = 1/27

Passe para base 3: (3^2)^(x - 2) = 3^(-3) -> 3^(2x - 4) = 3^(-3). Igualando: 2x - 4 = -3 -> 2x = 1 -> x = 1/2.

Resolva: 10^(3x) = 1000

Como 1000 = 10^3, temos 10^(3x) = 10^3. Igualando expoentes: 3x = 3 -> x = 1.

Resolva: 8^(x/2) = 16

Converta para base 2: (2^3)^(x/2) = 2^4 -> 2^(3x/2) = 2^4. Igualando: 3x/2 = 4 -> 3x = 8 -> x = 8/3.

Resolva: 2^(x^2 - 4) = 1

Como 1 = 2^0, temos 2^(x^2 - 4) = 2^0 -> x^2 - 4 = 0 -> x^2 = 4 -> x = 2 ou x = -2.

Resolva: 3^(x^2 - 3x) = 1/9

1/9 = 3^(-2). Fica 3^(x^2 - 3x) = 3^(-2) -> x^2 - 3x = -2 -> x^2 - 3x + 2 = 0 -> (x - 1)(x - 2) = 0 -> x = 1 ou x = 2.

Resolva: sqrt(2)^x = 8

sqrt(2) = 2^(1/2) e 8 = 2^3. Temos (2^(1/2))^x = 2^3 -> 2^(x/2) = 2^3 -> x/2 = 3 -> x = 6.

Resolva: 5^(x + 1) + 5^x = 150

Fatore pondo 5^x em evidência: 5^x * (5^1 + 1) = 150 -> 5^x * 6 = 150 -> 5^x = 25 -> 5^x = 5^2 -> x = 2.

Resolva: 2^(x + 3) - 2^x = 56

Coloque 2^x em evidência: 2^x * (2^3 - 1) = 56 -> 2^x * 7 = 56 -> 2^x = 8 -> 2^x = 2^3 -> x = 3.

Resolva: 3^(x + 2) + 3^(x - 1) = 84

Fatore 3^x: 3^x * (9 + 1/3) = 84 -> 3^x * (28/3) = 84 -> 3^x = 84 * 3 / 28 = 9 -> 3^x = 3^2 -> x = 2.

Resolva: 4^x - 5 * 2^x + 4 = 0

Substitua y = 2^x: y^2 - 5y + 4 = 0 -> (y - 1)(y - 4) = 0. Para y = 1: 2^x = 1 -> x = 0. Para y = 4: 2^x = 4 -> x = 2.

Resolva: 9^x - 4 * 3^x + 3 = 0

Seja y = 3^x: y^2 - 4y + 3 = 0 -> (y - 1)(y - 3) = 0. Se y = 1, 3^x = 1 -> x = 0. Se y = 3, 3^x = 3 -> x = 1.

Resolva: 25^x - 6 * 5^x + 5 = 0

Seja y = 5^x: y^2 - 6y + 5 = 0 -> (y - 1)(y - 5) = 0. Se y = 1: 5^x = 1 -> x = 0. Se y = 5: 5^x = 5 -> x = 1.

Resolva: 4^x - 6 * 2^x + 8 = 0

Seja y = 2^x: y^2 - 6y + 8 = 0 -> (y - 2)(y - 4) = 0. Se y = 2: 2^x = 2 -> x = 1. Se y = 4: 2^x = 4 -> x = 2.

Resolva: 49^x - 8 * 7^x + 7 = 0

Seja y = 7^x: y^2 - 8y + 7 = 0 -> (y - 1)(y - 7) = 0. Se y = 1: 7^x = 1 -> x = 0. Se y = 7: 7^x = 7 -> x = 1.

Resolva: 2^(2x) + 2^x - 12 = 0

Substitua y = 2^x: y^2 + y - 12 = 0 -> (y + 4)(y - 3) = 0. Como 2^x > 0, y = 3. Logo 2^x = 3 -> x = log2(3).

Resolva: (0,5)^x = 16

0,5 = 1/2 = 2^(-1) e 16 = 2^4. Fica (2^(-1))^x = 2^4 -> 2^(-x) = 2^4 -> -x = 4 -> x = -4.

Resolva: (0,2)^x = 25

0,2 = 1/5 = 5^(-1) e 25 = 5^2. Assim (5^(-1))^x = 5^2 -> 5^(-x) = 5^2 -> -x = 2 -> x = -2.

Resolva: (0,25)^(x + 1) = 32

0,25 = 2^(-2) e 32 = 2^5. Logo 2^(-2(x + 1)) = 2^5 -> -2x - 2 = 5 -> -2x = 7 -> x = -7/2.

Resolva: 2^(x + 1) * 5^(x + 1) = 100

Junte as bases: (2 * 5)^(x + 1) = 100 -> 10^(x + 1) = 10^2. Igualando expoentes: x + 1 = 2 -> x = 1.

Resolva: 2^x * 3^x = 36

Multiplique as bases: (2 * 3)^x = 36 -> 6^x = 36 -> 6^x = 6^2 -> x = 2.

Resolva: 4^(x - 1) = 8^(x + 1)

Passe para base 2: 2^(2(x - 1)) = 2^(3(x + 1)) -> 2x - 2 = 3x + 3 -> -x = 5 -> x = -5.

Resolva: 27^(2x) = 9^(x + 6)

Base 3: 3^(3 * 2x) = 3^(2(x + 6)) -> 6x = 2x + 12 -> 4x = 12 -> x = 3.

Resolva: 16^(x/4) = 1/2

Base 2: (2^4)^(x/4) = 2^(-1) -> 2^x = 2^(-1) -> x = -1.

Dada f(x) = 3^x, determine f(4).

Substitua x por 4 na função: f(4) = 3^4 = 81.

Dada f(x) = 2^(x - 3), encontre a raiz (x tal que f(x) = 1).

2^(x - 3) = 1 -> 2^(x - 3) = 2^0 -> x - 3 = 0 -> x = 3.

Dada f(x) = 5 * 2^x, determine x para f(x) = 40.

5 * 2^x = 40 -> divida ambos os lados por 5: 2^x = 8 -> 2^x = 2^3 -> x = 3.

Dada f(x) = a^x com a > 1, qual o comportamento da função?

A função é estritamente crescente em todo o seu domínio real, pois a base é maior que 1.

Dada f(x) = a^x com 0 < a < 1, qual o comportamento da função?

A função é estritamente decrescente em todo o seu domínio real, pois a base está entre 0 e 1.

Qual é a imagem da função f(x) = 2^x no conjunto dos reais?

A imagem é o conjunto dos números reais estritamente positivos: Im = (0, +infinito) ou R*+.

Resolva a inequação: 2^x > 8

8 = 2^3. Como a base 2 é maior que 1, preserva-se a desigualdade: 2^x > 2^3 -> x > 3.

Resolva a inequação: (1/2)^x >= 1/8

1/8 = (1/2)^3. Como a base (1/2) está entre 0 e 1, inverte-se o sinal: (1/2)^x >= (1/2)^3 -> x <= 3.

Resolva a inequação: 3^(2x - 1) < 27

27 = 3^3. Base > 1 preserva desigualdade: 2x - 1 < 3 -> 2x < 4 -> x < 2.

Resolva a inequação: (0,1)^x < 0,001

0,001 = (0,1)^3. Base entre 0 e 1 inverte desigualdade: x > 3.

Resolva: 6^(x^2 - 1) = 6^3

Igualando expoentes: x^2 - 1 = 3 -> x^2 = 4 -> x = 2 ou x = -2.

Resolva: 2^(x + 2) + 2^(x - 1) = 18

Fatore: 2^x * (4 + 1/2) = 18 -> 2^x * (9/2) = 18 -> 2^x = 18 * 2 / 9 = 4 -> 2^x = 2^2 -> x = 2.

Resolva: e^x = 1

Qualquer número não nulo elevado a zero é 1: e^x = e^0 -> x = 0.

Resolva: 10^(x - 5) = 1

Como 1 = 10^0: 10^(x - 5) = 10^0 -> x - 5 = 0 -> x = 5.

Resolva: 2^x = -4

Não há solução real, pois para qualquer x real, a potência de base positiva 2^x é estritamente maior que 0.

Resolva: 3^(x + 1) = 0

Não existe solução real, pois a função exponencial f(x) = a^x (com a > 0) nunca atinge o valor 0.

Resolva: 81^(1/x) = 9

Passe para base 9: (9^2)^(1/x) = 9^1 -> 9^(2/x) = 9^1 -> 2/x = 1 -> x = 2.

Resolva: 2^(3x - 5) = 1/32

1/32 = 2^(-5). Temos 2^(3x - 5) = 2^(-5) -> 3x - 5 = -5 -> 3x = 0 -> x = 0.

Resolva: 100^x = 0,001

Base 10: (10^2)^x = 10^(-3) -> 10^(2x) = 10^(-3) -> 2x = -3 -> x = -3/2.

Resolva: 2^(2x + 1) - 9 * 2^x + 4 = 0

Escreva 2 * (2^x)^2 - 9 * 2^x + 4 = 0. Com y = 2^x: 2y^2 - 9y + 4 = 0 -> y = 4 ou y = 1/2 -> x = 2 ou x = -1.

Resolva: 3^(x - 1) = 9^(2x)

Base 3: 3^(x - 1) = 3^(4x) -> x - 1 = 4x -> -1 = 3x -> x = -1/3.

Resolva: 5^(x^2 - x) = 25

25 = 5^2. Igualando expoentes: x^2 - x = 2 -> x^2 - x - 2 = 0 -> (x - 2)(x + 1) = 0 -> x = 2 ou x = -1.