Função Exponencial: Equações e Inequações

Cartões · 50

2^x = 16

Fatore 16: 2^x = 2^4. Igualando os expoentes: x = 4.

3^x = 81

Fatore 81: 3^x = 3^4. Igualando as bases iguais: x = 4.

5^x = 125

Fatore 125: 5^x = 5^3. Igualando expoentes: x = 3.

7^(x - 2) = 49

Escreva 49 como 7^2: 7^(x - 2) = 7^2. Igualando expoentes: x - 2 = 2, logo x = 4.

2^(x + 3) = 64

Fatore 64: 2^(x + 3) = 2^6. Igualando: x + 3 = 6, logo x = 3.

4^x = 32

Passe para base 2: (2^2)^x = 2^5 => 2^(2x) = 2^5. Logo, 2x = 5 => x = 5/2.

9^x = 27

Passe para base 3: (3^2)^x = 3^3 => 3^(2x) = 3^3. Logo, 2x = 3 => x = 3/2.

8^x = 1/2

Passe para base 2: (2^3)^x = 2^(-1) => 2^(3x) = 2^(-1). Portanto, 3x = -1 => x = -1/3.

5^x = 1/25

Escreva 1/25 como 5^(-2): 5^x = 5^(-2). Portanto, x = -2.

10^x = 0,001

Escreva 0,001 como fração decimal: 10^x = 10^(-3). Logo, x = -3.

2^(x^2 - 4) = 1

Escreva 1 como 2^0: x^2 - 4 = 0. Resolva por fatoração: (x - 2)(x + 2) = 0 => x = 2 ou x = -2.

3^(x^2 - 3x) = 1

Escreva 1 como 3^0: x^2 - 3x = 0. Fatore: x(x - 3) = 0 => x = 0 ou x = 3.

(1/2)^x = 8

Converta para base 2: (2^(-1))^x = 2^3 => 2^(-x) = 2^3. Logo, -x = 3 => x = -3.

(1/3)^(x + 1) = 9

Converta para base 3: 3^(-(x + 1)) = 3^2. Igualando: -x - 1 = 2 => -x = 3 => x = -3.

(2/3)^x = 9/4

Inverta a base à direita: 9/4 = (3/2)^2 = (2/3)^(-2). Igualando as bases: x = -2.

(2/5)^(x - 1) = 25/4

Inverta a fração: 25/4 = (5/2)^2 = (2/5)^(-2). Logo, x - 1 = -2 => x = -1.

2^(2x) - 5 * 2^x + 4 = 0

Substitua y = 2^x: y^2 - 5y + 4 = 0. Fatorando: (y - 1)(y - 4) = 0. Se y = 1 => 2^x = 1 => x = 0. Se y = 4 => 2^x = 4 => x = 2. Solução: {0, 2}.

3^(2x) - 4 * 3^x + 3 = 0

Substitua y = 3^x: y^2 - 4y + 3 = 0 => (y - 1)(y - 3) = 0. Para y = 1: 3^x = 1 => x = 0. Para y = 3: 3^x = 3 => x = 1. Solução: {0, 1}.

4^x - 3 * 2^x - 4 = 0

Substitua y = 2^x: y^2 - 3y - 4 = 0 => (y - 4)(y + 1) = 0. Como y > 0, y = 4. Logo, 2^x = 4 => x = 2.

9^x - 10 * 3^x + 9 = 0

Substitua y = 3^x: y^2 - 10y + 9 = 0 => (y - 1)(y - 9) = 0. Se y = 1 => 3^x = 1 => x = 0. Se y = 9 => 3^x = 9 => x = 2. Solução: {0, 2}.

2^(x + 1) + 2^(x - 1) = 10

Coloque 2^x em evidência: 2^x * (2^1 + 2^(-1)) = 10 => 2^x * (5/2) = 10. Multiplique por 2/5: 2^x = 4 => x = 2.

3^(x + 1) + 3^(x + 2) = 36

Coloque 3^x em evidência: 3^x * (3 + 9) = 36 => 3^x * 12 = 36 => 3^x = 3 => x = 1.

5^(x + 1) - 5^x = 100

Coloque 5^x em evidência: 5^x * (5 - 1) = 100 => 5^x * 4 = 100 => 5^x = 25 => x = 2.

2^(x + 2) + 2^(x + 1) + 2^x = 28

Coloque 2^x em evidência: 2^x * (4 + 2 + 1) = 28 => 2^x * 7 = 28 => 2^x = 4 => x = 2.

raiz(3)^x = 9

Converta a raiz em expoente: 3^(x/2) = 3^2. Igualando os expoentes: x/2 = 2 => x = 4.

raiz cúbica de 2^x = 4

Converta para potências de base 2: 2^(x/3) = 2^2. Igualando os expoentes: x/3 = 2 => x = 6.

2^(3x - 1) = 32

Fatore 32: 2^(3x - 1) = 2^5. Igualando expoentes: 3x - 1 = 5 => 3x = 6 => x = 2.

5^(2x - 3) = 1/125

Converta o segundo membro: 5^(2x - 3) = 5^(-3). Igualando: 2x - 3 = -3 => 2x = 0 => x = 0.

2^(x^2 - x) = 64

Escreva 64 como 2^6: x^2 - x = 6 => x^2 - x - 6 = 0. Fatore: (x - 3)(x + 2) = 0 => x = 3 ou x = -2.

3^(x^2 - 5x + 6) = 1

Escreva 1 como 3^0: x^2 - 5x + 6 = 0. Fatore: (x - 2)(x - 3) = 0 => x = 2 ou x = 3.

Regra geral: base a > 1 em inequações

Se a > 1, a função a^x é estritamente crescente. Portanto, a^f(x) > a^g(x) mantém o sinal da desigualdade: f(x) > g(x).

Regra geral: base 0 < a < 1 em inequações

Se 0 < a < 1, a função a^x é estritamente decrescente. Portanto, a^f(x) > a^g(x) inverte o sinal: f(x) < g(x).

2^x > 8

Base 2 > 1 (mantém o sinal). 2^x > 2^3 => x > 3.

3^x <= 27

Base 3 > 1 (mantém o sinal). 3^x <= 3^3 => x <= 3.

5^x >= 1/5

Base 5 > 1 (mantém o sinal). 5^x >= 5^(-1) => x >= -1.

2^(x + 3) < 16

Base 2 > 1. Fatore 16: 2^(x + 3) < 2^4. Igualando mantendo sinal: x + 3 < 4 => x < 1.

(1/2)^x > 4

Base 1/2 < 1 (inverte o sinal). Fatore: (1/2)^x > (1/2)^(-2) => x < -2.

(1/3)^x <= 9

Base 1/3 < 1 (inverte o sinal). Fatore: (1/3)^x <= (1/3)^(-2) => x >= -2.

(0,2)^x > 25

0,2 = 1/5 e 25 = (1/5)^(-2). Base 1/5 < 1 (inverte o sinal): (1/5)^x > (1/5)^(-2) => x < -2.

(1/5)^(x - 1) >= 125

125 = (1/5)^(-3). Base < 1 (inverte sinal): x - 1 <= -3 => x <= -2.

(2/3)^x > 27/8

Note que 27/8 = (3/2)^3 = (2/3)^(-3). Como base 2/3 < 1, inverta o sinal: x < -3.

(3/4)^(2x - 1) <= 16/9

Converta 16/9 para (3/4)^(-2). Base 3/4 < 1 (inverte o sinal): 2x - 1 >= -2 => 2x >= -1 => x >= -1/2.

4^x - 6 * 2^x + 8 < 0

Substitua y = 2^x: y^2 - 6y + 8 < 0. Raízes: 2 e 4. Intervalo entre raízes: 2 < y < 4. Como y = 2^x: 2^1 < 2^x < 2^2 => 1 < x < 2.

9^x - 4 * 3^x + 3 > 0

Substitua y = 3^x: y^2 - 4y + 3 > 0. Raízes: 1 e 3. Solução de y: y < 1 ou y > 3. Logo, 3^x < 1 => x < 0; ou 3^x > 3 => x > 1.

2^(x^2 - 5x) < 64

64 = 2^6. Como base 2 > 1: x^2 - 5x < 6 => x^2 - 5x - 6 < 0. Fatore: (x - 6)(x + 1) < 0. Solução: -1 < x < 6.

(1/2)^(x^2 - 2x) <= 1/8

1/8 = (1/2)^3. Base < 1 (inverte sinal): x^2 - 2x >= 3 => x^2 - 2x - 3 >= 0. Fatore: (x - 3)(x + 1) >= 0. Solução: x <= -1 ou x >= 3.

3^(x + 2) + 3^x > 30

Fatore 3^x: 3^x * (3^2 + 1) > 30 => 3^x * 10 > 30 => 3^x > 3. Base > 1: x > 1.

2^(x - 1) + 2^x < 12

Fatore 2^x: 2^x * (1/2 + 1) < 12 => 2^x * (3/2) < 12 => 2^x < 8. Como 8 = 2^3: x < 3.

16^(x/2) = 1/4

Converta para base 2: (2^4)^(x/2) = 2^(-2) => 2^(2x) = 2^(-2). Igualando: 2x = -2 => x = -1.

(0,5)^(x + 2) >= 1

Escreva 1 como (0,5)^0. Base 0,5 < 1 (inverte o sinal): x + 2 <= 0 => x <= -2.