Função Modular

Cartões · 52

Definição formal de módulo (|x|)

|x| = x se x ≥ 0; |x| = -x se x < 0.

Interpretação geométrica de |x|

Representa a distância euclidiana entre o número real x e a origem (0) na reta numérica.

Interpretação geométrica de |x - y|

Representa a distância entre os pontos reais x e y na reta numérica.

Propriedade da não negatividade do módulo

|x| ≥ 0 para todo x pertencente ao conjunto dos números reais.

Condição para |x| = 0

|x| = 0 se, e somente se, x = 0.

Relação entre |x| e |-x|

|x| = |-x| para todo x pertencente aos números reais.

Relação entre módulo e raiz quadrada de quadrado perfeito

√(x²) = |x| para todo x real.

Propriedade do quadrado do módulo (|x|²)

|x|² = x² = |x²| para qualquer número real x.

Propriedade multiplicativa do módulo

|x * y| = |x| * |y| para quaisquer x e y reais.

Propriedade distributiva da divisão no módulo

|x / y| = |x| / |y|, com a condição obrigatória de y ≠ 0.

Propriedade da potência no módulo (|x^n|)

|x^n| = |x|^n para todo n inteiro positivo e x real.

Desigualdade triangular clássica

|x + y| ≤ |x| + |y| para quaisquer números reais x e y.

Quando ocorre a igualdade |x + y| = |x| + |y|?

Ocorre se, e somente se, x e y têm o mesmo sinal ou se pelo menos um deles for zero (x * y ≥ 0).

Desigualdade triangular reversa

||x| - |y|| ≤ |x - y| para todos os números reais x e y.

Desigualdade modular para diferença (|x - y|)

|x - y| ≥ ||x| - |y|| e |x - y| ≤ |x| + |y|.

Equação modular básica |x| = k (com k > 0)

O conjunto solução é composto por x = k ou x = -k.

Equação modular |x| = k (com k < 0)

O conjunto solução é vazio (S = ∅), pois o módulo não pode ser estritamente negativo.

Equação modular do tipo |f(x)| = g(x)

Exige a condição de existência g(x) ≥ 0, seguida por f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

Equação modular do tipo |f(x)| = |g(x)|

Equivale a f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x), sem necessidade de impor restrição de sinal.

Inequação modular do tipo |x| < c (com c > 0)

Equivale à desigualdade simultânea: -c < x < c.

Inequação modular do tipo |x| ≤ c (com c > 0)

Equivale ao intervalo fechado: -c ≤ x ≤ c.

Inequação modular do tipo |x| > c (com c > 0)

Equivale à união de intervalos: x < -c ou x > c.

Inequação modular do tipo |x| ≥ c (com c > 0)

Equivale a: x ≤ -c ou x ≥ c.

Inequação |x| < 0

Possui conjunto solução vazio (S = ∅), pois distâncias nunca são negativas.

Inequação |x| ≤ 0

Possui solução única dada por x = 0.

Inequação |x| ≥ 0

Satisfeita para todo x real (S = ℝ).

Definição da função modular elementar f(x) = |x|

Função de domínio ℝ em ℝ tal que f(x) = x para x ≥ 0 e f(x) = -x para x < 0.

Domínio da função f(x) = |x|

O domínio é o conjunto de todos os números reais (Dom = ℝ).

Conjunto imagem da função f(x) = |x|

O conjunto imagem é o intervalo [0, +∞), ou seja, todos os reais não negativos.

Formato geométrico do gráfico de f(x) = |x|

Possui o formato de uma letra V, com vértice exatamente na origem (0, 0).

Paridade da função f(x) = |x|

É uma função par, pois f(-x) = |-x| = |x| = f(x) para todo x real.

Simetria no gráfico de f(x) = |x|

Apresenta simetria axial em relação ao eixo das ordenadas (eixo y).

Injetividade da função f(x) = |x|

Não é injetora, pois elementos distintos do domínio (como -2 e 2) têm a mesma imagem (2).

Sobrejetividade da função f: ℝ → ℝ dada por f(x) = |x|

Não é sobrejetora em ℝ, pois os valores estritamente negativos não pertencem à imagem.

Diferenciabilidade de f(x) = |x| na origem (x = 0)

Não é diferenciável em x = 0 devido a uma ponta angulosa com derivadas laterais distintas (-1 e +1).

Derivada da função f(x) = |x| para x ≠ 0

f'(x) = x / |x| (ou sign(x)), valendo 1 para x > 0 e -1 para x < 0.

Efeito da transformação g(x) = |f(x)| no gráfico

Espelha para cima (reflete sobre o eixo x) todas as partes do gráfico de f(x) que estavam abaixo do eixo x.

Efeito da transformação g(x) = f(|x|) no gráfico

Descarta a parte para x < 0 e reflete a porção com x ≥ 0 em relação ao eixo y.

Efeito da transformação g(x) = |x| + c no gráfico

Translação vertical do gráfico básico de |x| em c unidades (para cima se c > 0, para baixo se c < 0).

Efeito da transformação g(x) = |x - c| no gráfico

Translação horizontal de c unidades (para a direita se c > 0, para a esquerda se c < 0).

Vértice da função modular f(x) = a|x - h| + k

As coordenadas do ponto de vértice são V = (h, k).

Concavidade/Abertura de f(x) = a|x - h| + k

Abre para cima se a > 0 e abre para baixo se a < 0.

Imagem da função f(x) = a|x - h| + k com a > 0

Im(f) = [k, +∞).

Imagem da função f(x) = a|x - h| + k com a < 0

Im(f) = (-∞, k].

Interseção com o eixo y de f(x) = |x - h| + k

Ocorre no ponto de coordenadas (0, |-h| + k) = (0, |h| + k).

Comportamento da função f(x) = |x| + |x - 2|

Vale -2x + 2 para x < 0; constante e igual a 2 para 0 ≤ x ≤ 2; e 2x - 2 para x > 2.

Regra da partição de intervalos para expressões modulares

Determina-se os pontos onde os módulos anulam-se e estuda-se o sinal de cada termo em cada intervalo.

Domínio de f(x) = 1 / |x|

Dom = ℝ \ {0} (todos os reais com exceção de x = 0).

Domínio de f(x) = √(|x| - 4)

Exige |x| - 4 ≥ 0, logo |x| ≥ 4, resultando em (-∞, -4] ∪ [4, +∞).

Domínio de f(x) = √(3 - |x|)

Exige 3 - |x| ≥ 0, logo |x| ≤ 3, resultando no intervalo [-3, 3].

Relação entre |x| e o máximo de dois valores

max(x, y) pode ser escrito como (x + y + |x - y|) / 2.

Relação entre |x| e o mínimo de dois valores

min(x, y) pode ser escrito como (x + y - |x - y|) / 2.