Função Quadrática

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Definição de função quadrática

Função da forma f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a diferente de 0.

Nome comum da função quadrática

Função polinomial do 2º grau.

Forma padrão ou geral

f(x) = ax² + bx + c

Coeficiente quadrático

O coeficiente 'a', que acompanha x² e determina a curvatura e a concavidade da parábola.

Coeficiente linear

O coeficiente 'b', que acompanha x e influencia a inclinação no ponto de corte com o eixo y.

Termo independente

O coeficiente 'c', que indica o valor da função quando x = 0 (interseção com o eixo y).

Gráfico da função quadrática

Uma curva plana simétrica denominada parábola.

Condição para concavidade voltada para cima

Coeficiente a > 0 (positivo).

Condição para concavidade voltada para baixo

Coeficiente a < 0 (negativo).

Fórmula do discriminante (Delta)

Δ = b² - 4ac

Significado de Delta > 0

A função possui duas raízes reais e distintas; a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.

Significado de Delta = 0

A função possui duas raízes reais e iguais (raiz única); a parábola tangencia o eixo x.

Significado de Delta < 0

A função não possui raízes reais; a parábola não toca nem cruza o eixo x.

Fórmula de Bhaskara para as raízes

x = (-b ± √Δ) / (2a)

Raízes ou zeros da função

Os valores de x para os quais f(x) = 0.

Interseção com o eixo y

Ocorre no ponto de coordenadas (0, c).

Comportamento no eixo y se b > 0

A parábola cruza o eixo y em sentido crescente.

Comportamento no eixo y se b < 0

A parábola cruza o eixo y em sentido decrescente.

Comportamento no eixo y se b = 0

O vértice da parábola está exatamente sobre o eixo y.

Vértice da parábola

Ponto de retorno da curva, onde a função atinge seu valor extremo (máximo ou mínimo).

Abscissa do vértice (Xv)

Xv = -b / (2a)

Ordenada do vértice (Yv)

Yv = -Δ / (4a) ou f(Xv)

Coordenadas completas do vértice (V)

V = (-b / (2a), -Δ / (4a))

Ponto de mínimo

O vértice quando a > 0; representa o menor valor que a função atinge.

Ponto de máximo

O vértice quando a < 0; representa o maior valor que a função atinge.

Valor mínimo da função

Yv = -Δ / (4a), válido quando a > 0.

Valor máximo da função

Yv = -Δ / (4a), válido quando a < 0.

Eixo de simetria da parábola

Reta vertical dada pela equação x = -b / (2a).

Simetria das raízes

O Xv é o ponto médio aritmético das raízes: Xv = (x1 + x2) / 2.

Relações de Girard: Soma das raízes (S)

S = x1 + x2 = -b / a

Relações de Girard: Produto das raízes (P)

P = x1 * x2 = c / a

Equação quadrática em função da soma e produto

x² - Sx + P = 0

Forma fatorada da função quadrática

f(x) = a(x - x1)(x - x2), em que x1 e x2 são as raízes reais.

Forma canônica da função quadrática

f(x) = a(x - Xv)² + Yv

Domínio de f(x) = ax² + bx + c

O conjunto dos números reais: Dom(f) = R.

Conjunto imagem se a > 0

Im(f) = [Yv, +∞) ou {y ∈ R | y ≥ -Δ / (4a)}.

Conjunto imagem se a < 0

Im(f) = (-∞, Yv] ou {y ∈ R | y ≤ -Δ / (4a)}.

Intervalo de crescimento se a > 0

A função é estritamente crescente no intervalo [Xv, +∞).

Intervalo de decrescimento se a > 0

A função é estritamente decrescente no intervalo (-∞, Xv].

Intervalo de crescimento se a < 0

A função é estritamente crescente no intervalo (-∞, Xv].

Intervalo de decrescimento se a < 0

A função é estritamente decrescente no intervalo [Xv, +∞).

Estudo do sinal: a > 0 e Δ > 0

f(x) > 0 fora das raízes (x < x1 ou x > x2) e f(x) < 0 entre as raízes (x1 < x < x2).

Estudo do sinal: a < 0 e Δ > 0

f(x) < 0 fora das raízes (x < x1 ou x > x2) e f(x) > 0 entre as raízes (x1 < x < x2).

Estudo do sinal: a > 0 e Δ = 0

f(x) > 0 para todo x diferente de Xv, e f(x) = 0 em x = Xv.

Estudo do sinal: a < 0 e Δ = 0

f(x) < 0 para todo x diferente de Xv, e f(x) = 0 em x = Xv.

Estudo do sinal: a > 0 e Δ < 0

f(x) > 0 estritamente positivo para todo x real.

Estudo do sinal: a < 0 e Δ < 0

f(x) < 0 estritamente negativo para todo x real.

Inequação quadrática f(x) ≥ 0

Conjunto de valores de x em que o gráfico está sobre ou acima do eixo horizontal.

Inequação quadrática f(x) ≤ 0

Conjunto de valores de x em que o gráfico está sobre ou abaixo do eixo horizontal.

Efeito do aumento do valor absoluto de a (|a|)

A abertura da parábola torna-se mais estreita (mais próxima do eixo de simetria).

Efeito da redução do valor absoluto de a (|a|)

A abertura da parábola torna-se mais ampla e aberta.

Translação vertical f(x) = ax² + c

Altera o valor de c, deslocando a parábola para cima (c > 0) ou para baixo (c < 0).

Translação horizontal f(x) = a(x - h)²

Desloca a parábola h unidades para a direita (se h > 0) ou para a esquerda (se h < 0).

Função quadrática incompleta sem b (b = 0)

f(x) = ax² + c; o gráfico é simétrico em relação ao próprio eixo y.

Função quadrática incompleta sem c (c = 0)

f(x) = ax² + bx; o gráfico sempre passa pela origem (0, 0) e uma raiz é zero.

Função quadrática incompleta sem b e c (b = c = 0)

f(x) = ax²; parábola com vértice exatamente na origem (0, 0).