Função Quadrática

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O que é uma função quadrática?

É uma função da forma f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0.

Por que o coeficiente 'a' não pode ser zero?

Porque se a = 0, o termo de grau 2 desaparece e a função torna-se afim (grau 1).

Qual é a curva que representa o gráfico da função quadrática?

A parábola.

O que determina a concavidade da parábola?

O sinal do coeficiente 'a': se a > 0 é voltada para cima; se a < 0, para baixo.

Qual é o significado geométrico do termo 'c'?

É a ordenada do ponto onde a parábola cruza o eixo y, ou seja, o ponto (0, c).

O que significa o coeficiente 'b' no gráfico?

Indica a inclinação da parábola ao cruzar o eixo y: b > 0 sobe, b < 0 desce, b = 0 o vértice fica no eixo y.

O que são as raízes ou zeros da função quadrática?

São os valores de x para os quais f(x) = 0, correspondendo aos pontos de interseção com o eixo x.

Qual é a fórmula do discriminante (Delta)?

Δ = b² - 4ac.

O que acontece com as raízes quando Δ > 0?

A função possui duas raízes reais e distintas, e a parábola corta o eixo x em dois pontos.

O que acontece com as raízes quando Δ = 0?

A função possui uma raiz real dupla (duas raízes iguais), e a parábola tangencia o eixo x.

O que acontece com as raízes quando Δ < 0?

A função não possui raízes reais, e a parábola não intercepta o eixo x.

Qual é a fórmula de Bhaskara?

x = (-b ± √Δ) / (2a), onde Δ = b² - 4ac.

O que é o vértice da parábola?

É o ponto extremo da parábola, representando o valor máximo ou mínimo da função.

Qual é a fórmula para a abscissa do vértice (Xv)?

Xv = -b / (2a).

Qual é a fórmula para a ordenada do vértice (Yv)?

Yv = -Δ / (4a).

Como obter o Yv sem a fórmula do discriminante?

Calculando a imagem do Xv na própria função: Yv = f(Xv).

Quando a função quadrática admite valor mínimo?

Quando a > 0, pois a concavidade é para cima e o vértice é o ponto mais baixo.

Quando a função quadrática admite valor máximo?

Quando a < 0, pois a concavidade é para baixo e o vértice é o ponto mais alto.

Qual é a diferença entre ponto de máximo/mínimo e valor máximo/mínimo?

O ponto é o par ordenado (Xv, Yv); a abscissa Xv indica onde ocorre e a ordenada Yv é o valor extremo.

O que é o eixo de simetria da parábola?

É a reta vertical x = Xv que divide a parábola em duas metades perfeitamente simétricas.

Como relacionar as raízes com o eixo de simetria?

O Xv é o ponto médio das raízes reais: Xv = (x1 + x2) / 2.

Quais são as relações de Girard para soma e produto das raízes?

Soma: S = x1 + x2 = -b/a; Produto: P = x1 * x2 = c/a.

Como escrever a equação de 2º grau a partir da soma e produto das raízes?

x² - Sx + P = 0, considerando a = 1.

Qual é a forma fatorada da função quadrática com raízes reais?

f(x) = a(x - x1)(x - x2).

Qual é a forma canônica da função quadrática?

f(x) = a(x - Xv)² + Yv.

Qual é a principal vantagem da forma canônica?

Permite identificar diretamente as coordenadas do vértice (Xv, Yv) sem cálculos extras.

Qual é o domínio da função quadrática?

O conjunto dos números reais: D = ℝ.

Qual é o conjunto imagem da função quadrática quando a > 0?

Im = {y ∈ ℝ | y ≥ Yv}, ou seja, [Yv, +∞).

Qual é o conjunto imagem da função quadrática quando a < 0?

Im = {y ∈ ℝ | y ≤ Yv}, ou seja, (-∞, Yv].

Em que intervalo a função quadrática com a > 0 é decrescente?

No intervalo (-∞, Xv].

Em que intervalo a função quadrática com a > 0 é crescente?

No intervalo [Xv, +∞).

Em que intervalo a função quadrática com a < 0 é crescente?

No intervalo (-∞, Xv].

Em que intervalo a função quadrática com a < 0 é decrescente?

No intervalo [Xv, +∞).

O que acontece se b = 0 na lei da função?

O vértice coincide com a interseção em y no ponto (0, c), e o eixo de simetria é o próprio eixo y.

O que acontece se c = 0 na lei da função?

A parábola passa pela origem (0, 0), e uma das raízes é obrigatoriamente 0.

Como resolver rapidamente f(x) = ax² + bx = 0 (quando c = 0)?

Colocando x em evidência: x(ax + b) = 0, logo x = 0 ou x = -b/a.

Como resolver rapidamente f(x) = ax² + c = 0 (quando b = 0)?

Isolando x²: x² = -c/a, logo x = ±√(-c/a), existindo raízes reais se -c/a ≥ 0.

Qual é o sinal de f(x) para a > 0 e Δ < 0?

A função é estritamente positiva para todo x real (f(x) > 0).

Qual é o sinal de f(x) para a < 0 e Δ < 0?

A função é estritamente negativa para todo x real (f(x) < 0).

Para a > 0 e Δ > 0, onde a função é negativa?

No intervalo aberto entre as raízes: x1 < x < x2.

Para a > 0 e Δ > 0, onde a função é positiva?

Fora do intervalo das raízes: x < x1 ou x > x2.

Para a < 0 e Δ > 0, onde a função é positiva?

No intervalo aberto entre as raízes: x1 < x < x2.

Para a < 0 e Δ > 0, onde a função é negativa?

Fora do intervalo das raízes: x < x1 ou x > x2.

Para a > 0 e Δ = 0, qual é o sinal de f(x)?

f(x) ≥ 0 para todo x, anulando-se apenas na raiz x = -b/(2a).

Para a < 0 e Δ = 0, qual é o sinal de f(x)?

f(x) ≤ 0 para todo x, anulando-se apenas na raiz x = -b/(2a).

O que define o foco de uma parábola?

É um ponto fixo interior cuja distância a qualquer ponto da curva equivale à distância até a reta diretriz.

Qual é a distância do vértice ao foco em f(x) = ax²?

A distância focal é d = 1 / (4|a|).

O que é inequação do 2º grau?

Uma desigualdade que envolve expressão quadrática, como ax² + bx + c > 0 ou ≤ 0.

Como determinar a quantidade de interseções entre uma reta e uma parábola?

Igualando as equações e analisando o Δ da equação resultante: 2 pontos se Δ > 0, 1 se Δ = 0 e 0 se Δ < 0.

Quantos pontos distintos não alinhados determinam uma única parábola vertical?

Três pontos distintos no plano cartesiano determinam unicamente uma função quadrática.