Funções de 1º e 2º Grau

Cartões · 52

Função afim (1º grau)

Função na forma f(x) = ax + b, com a e b reais e a ≠ 0. Seu gráfico é sempre uma reta oblíqua.

Coeficiente angular (a)

Taxa de variação média da reta. Indica a inclinação: a > 0 função crescente, a < 0 decrescente.

Coeficiente linear (b)

Ponto onde a reta intercepta o eixo vertical y, dado pelas coordenadas (0, b).

Raiz ou zero da função afim

Valor de x tal que f(x) = 0. Obtido isolando x na equação ax + b = 0, resultando em x = -b/a.

Função linear

Caso particular da função afim em que b = 0, f(x) = ax. Sua reta sempre passa pela origem (0, 0).

Função identidade

Caso particular onde a = 1 e b = 0, ou seja, f(x) = x. É a bissetriz dos quadrantes ímpares.

Função constante

Função na forma f(x) = b (com a = 0). O gráfico é uma reta horizontal paralela ao eixo x.

Taxa de variação

Relação constante dada por a = (y2 - y1) / (x2 - x1) para quaisquer dois pontos distintos da reta.

Interseção com o eixo x (afim)

Ponto com coordenadas (-b/a, 0), onde a reta cruza o eixo horizontal das abscissas.

Interseção com o eixo y (afim)

Ponto com coordenadas (0, b), onde a reta cruza o eixo vertical das ordenadas.

Estudo do sinal da função afim (a > 0)

f(x) < 0 para x < -b/a; f(x) = 0 em x = -b/a; f(x) > 0 para x > -b/a.

Estudo do sinal da função afim (a < 0)

f(x) > 0 para x < -b/a; f(x) = 0 em x = -b/a; f(x) < 0 para x > -b/a.

Retas paralelas no plano

Duas funções afins f(x) = a1*x + b1 e g(x) = a2*x + b2 são paralelas se, e somente se, a1 = a2.

Retas perpendiculares no plano

Duas retas afins são perpendiculares se o produto dos coeficientes angulares for -1 (a1 * a2 = -1).

Função quadrática (2º grau)

Função na forma f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola.

Concavidade da parábola (a > 0)

Quando a > 0, a concavidade é voltada para cima; a função possui um ponto de mínimo global.

Concavidade da parábola (a < 0)

Quando a < 0, a concavidade é voltada para baixo; a função possui um ponto de máximo global.

Discriminante (Delta)

Valor dado por Δ = b² - 4ac. Determina a quantidade e a natureza das raízes reais da função.

Fórmula de Bhaskara

Fórmula para encontrar as raízes reais de ax² + bx + c = 0: x = (-b ± √Δ) / (2a).

Delta positivo (Δ > 0)

A função quadrática possui duas raízes reais e distintas; a parábola corta o eixo x em dois pontos.

Delta igual a zero (Δ = 0)

A função possui uma única raiz real dupla; a parábola tangencia o eixo x no seu vértice.

Delta negativo (Δ < 0)

A função não possui raízes reais; a parábola não intercepta nem toca o eixo x.

Vértice da parábola (V)

Ponto de inflexão ou extremante da parábola, dado pelas coordenadas V = (Xv, Yv).

Abscissa do vértice (Xv)

Coordenada x do vértice dada por Xv = -b / (2a). Corresponde à média aritmética das raízes.

Ordenada do vértice (Yv)

Coordenada y do vértice dada por Yv = -Δ / (4a) ou calculada por f(Xv).

Eixo de simetria da parábola

Reta vertical dada pela equação x = -b / (2a) que divide a parábola em duas metades simétricas.

Valor máximo da função quadrática

Ocorre quando a < 0; o maior valor assumido por f(x) é Yv = -Δ / (4a).

Valor mínimo da função quadrática

Ocorre quando a > 0; o menor valor assumido por f(x) é Yv = -Δ / (4a).

Ponto de máximo

Par ordenado V = (-b / (2a), -Δ / (4a)) atingido pela parábola quando a < 0.

Ponto de mínimo

Par ordenado V = (-b / (2a), -Δ / (4a)) atingido pela parábola quando a > 0.

Interseção com o eixo y (quadrática)

Ponto onde x = 0, dado pelo par ordenado (0, c). O termo independente c indica esse cruzamento.

Forma fatorada da quadrática

Expressão f(x) = a(x - x1)(x - x2), válida quando a função admite raízes reais x1 e x2.

Forma canônica da quadrática

Representação f(x) = a(x - Xv)² + Yv, que explicita diretamente as coordenadas do vértice.

Relações de Girard: Soma das raízes

S = x1 + x2 = -b / a. Relaciona a soma direta das raízes com os coeficientes da equação.

Relações de Girard: Produto das raízes

P = x1 * x2 = c / a. Relaciona a multiplicação direta das raízes com os coeficientes.

Construção por soma e produto

Equação quadrática reescrita como x² - Sx + P = 0, onde S é a soma e P o produto das raízes.

Estudo do sinal: a > 0 e Δ > 0

Positiva fora das raízes (x < x1 ou x > x2) e negativa entre as raízes (x1 < x < x2).

Estudo do sinal: a < 0 e Δ > 0

Negativa fora das raízes (x < x1 ou x > x2) e positiva entre as raízes (x1 < x < x2).

Estudo do sinal: a > 0 e Δ = 0

Positiva para todo x real diferente da raiz (x ≠ x1), e nula em x = x1.

Estudo do sinal: a < 0 e Δ = 0

Negativa para todo x real diferente da raiz (x ≠ x1), e nula em x = x1.

Estudo do sinal: a > 0 e Δ < 0

Estritamente positiva para todo x real pertencente ao domínio (f(x) > 0 ∀ x).

Estudo do sinal: a < 0 e Δ < 0

Estritamente negativa para todo x real pertencente ao domínio (f(x) < 0 ∀ x).

Conjunto imagem: afim não constante

Im(f) = ℝ. A função cobre todos os valores reais do eixo y de -∞ a +∞.

Conjunto imagem: quadrática (a > 0)

Im(f) = [Yv, +∞[, ou seja, todos os valores de y maiores ou iguais a -Δ / (4a).

Conjunto imagem: quadrática (a < 0)

Im(f) = ]-∞, Yv], ou seja, todos os valores de y menores ou iguais a -Δ / (4a).

Significado geométrico do coeficiente b

Indica a inclinação da parábola ao cruzar o eixo y: se b > 0 cruza subindo, se b < 0 cruza descendo.

Inequação do 1º grau

Desigualdade na forma ax + b > 0 (ou <, ≥, ≤). Resolvida isolando x e invertendo o sinal se a < 0.

Inequação do 2º grau

Desigualdade resolvida encontrando as raízes da quadrática e analisando o sinal do gráfico.

Inequação produto e quociente

Resolução conjunta via quadro de sinais (varal de sinais), considerando restrições de denominador ≠ 0.

Interseção entre reta e parábola

Igualam-se as equações f(x) = g(x); o número de soluções de Δ determina se a reta é secante, tangente ou externa.

Reta secante à parábola

Ocorre quando a equação resolutiva do sistema tem Δ > 0, cruzando a parábola em dois pontos distintos.

Reta tangente à parábola

Ocorre quando a equação resolutiva do sistema tem Δ = 0, tocando a curva em exatamente um ponto.