Funções e Função Afim

Cartões · 52

Definição formal de função

Relação binária f de A em B onde cada elemento x de A se associa a um único elemento y de B.

Domínio de uma função (D)

Conjunto de partida A formado por todos os valores possíveis da variável independente x.

Contradomínio de uma função (CD)

Conjunto de chegada B no qual estão contidos os possíveis valores de saída da função.

Conjunto Imagem (Im)

Subconjunto do contradomínio formado por todos os valores y tais que y = f(x) para algum x no domínio.

Variável independente

Elemento de entrada (comumente x) cujo valor independe de outras variáveis na relação funcional.

Variável dependente

Elemento de saída (comumente y) cujo valor depende diretamente do valor atribuído a x.

Gráfico de uma função

Conjunto de pares ordenados (x, f(x)) representados geometricamente no plano cartesiano.

Teste da reta vertical

Método gráfico no qual uma curva é função se qualquer reta vertical a interceptar no máximo uma vez.

Função injetora

Função em que elementos distintos do domínio sempre possuem imagens distintas no contradomínio.

Função sobrejetora

Função em que o conjunto imagem coincide totalmente com o contradomínio (Im = CD).

Função bijetora

Função que é simultaneamente injetora e sobrejetora, admitindo função inversa.

Função par

Função simétrica em relação ao eixo y que satisfaz f(-x) = f(x) para todo x do domínio.

Função ímpar

Função simétrica em relação à origem que satisfaz f(-x) = -f(x) para todo x do domínio.

Definição de função afim

Função de R em R cuja lei de formação é f(x) = ax + b, com a e b pertencentes aos reais.

Forma algébrica padrão da função afim

f(x) = ax + b ou y = ax + b, onde a e b são constantes reais.

Coeficiente angular (a)

Taxa de variação média da função que determina a inclinação da reta no plano cartesiano.

Coeficiente linear (b)

Valor da coordenada y do ponto (0, b) onde a reta intercepta o eixo vertical das ordenadas.

Fórmula do coeficiente angular

a = (y2 - y1) / (x2 - x1) ou variação de y dividida pela variação de x (delta y / delta x).

Interpretação trigonométrica do coeficiente angular

O coeficiente angular a é numericamente igual à tangente do ângulo de inclinação da reta com o eixo x.

Função estritamente crescente (afim)

Ocorre quando a > 0; à medida que x aumenta, os valores de y também aumentam.

Função estritamente decrescente (afim)

Ocorre quando a < 0; à medida que x aumenta, os valores de y diminuem.

Função constante

Caso da função afim onde a = 0, gerando f(x) = b; seu gráfico é uma reta horizontal paralela ao eixo x.

Função linear

Caso particular da função afim onde b = 0, resultando em f(x) = ax com reta passando pela origem (0, 0).

Função identidade

Caso particular da função linear onde a = 1 e b = 0, dada por f(x) = x, cuja reta é a bissetriz dos quadrantes ímpares.

Raiz ou zero da função afim

Valor de x para o qual f(x) = 0, dado algebricamente por x = -b / a (com a diferente de 0).

Significado geométrico da raiz

Ponto de coordenadas (-b/a, 0) onde a reta intercepta o eixo horizontal das abscissas (eixo x).

Interseção com o eixo y

Ponto de coordenadas (0, b), obtido ao calcular f(0).

Representação gráfica da função afim

Uma linha reta oblíqua (se a != 0) ou horizontal (se a = 0) no plano cartesiano.

Taxa de variação constante

Propriedade fundamental da função afim: a razão de variação delta y / delta x é idêntica para quaisquer dois pontos.

Equação fundamental da reta (ponto-declividade)

y - y0 = a * (x - x0), usada para encontrar a lei da função dados um ponto (x0, y0) e a inclinação a.

Equação da reta que passa por dois pontos

y - y1 = [(y2 - y1) / (x2 - x1)] * (x - x1).

Estudo do sinal da função afim crescente (a > 0)

f(x) < 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) > 0 para x > -b/a.

Estudo do sinal da função afim decrescente (a < 0)

f(x) > 0 para x < -b/a; f(x) = 0 para x = -b/a; f(x) < 0 para x > -b/a.

Retas paralelas no plano cartesiano

Duas retas não verticais r1 e r2 são paralelas se, e somente se, possuem coeficientes angulares iguais: a1 = a2.

Retas concorrentes no plano cartesiano

Duas retas se cruzam em um único ponto se, e somente se, possuem coeficientes angulares distintos: a1 != a2.

Retas perpendiculares no plano cartesiano

Duas retas não verticais são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1: a1 * a2 = -1.

Retas coincidentes no plano cartesiano

Duas retas coincidem totalmente se possuem mesmo coeficiente angular e mesmo coeficiente linear: a1 = a2 e b1 = b2.

Translação vertical da função afim

Alterar o valor de b desloca a reta verticalmente para cima (b > 0) ou para baixo (b < 0) mantendo a inclinação a.

Variação da inclinação da função afim

Alterar o valor de a gira a reta em torno do ponto de interseção com o eixo y (0, b).

Função transladada f(x + k)

Desloca o gráfico da função original horizontalmente para a esquerda se k > 0, ou para a direita se k < 0.

Função afim inversa

Para f(x) = ax + b (a != 0), a função inversa é f^(-1)(x) = (x - b) / a.

Composição de duas funções afins

Se f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, então f(g(x)) = a(cx + d) + b = (ac)x + (ad + b), que também é afim.

Ponto de equilíbrio (Break-even point)

Ponto de interseção entre a função receita R(x) e a função custo C(x), onde o lucro L(x) = R(x) - C(x) = 0.

Função custo total linear

C(x) = Cf + Cv * x, onde Cf representa o custo fixo (coeficiente linear) e Cv o custo variável unitário (coeficiente angular).

Função receita linear

R(x) = p * x, onde p é o preço de venda unitário fixo (coeficiente angular) e o coeficiente linear é zero.

Inequação do 1º grau associada à função afim

Expressão da forma ax + b > 0 (ou <, >=, <=), resolvida por meio da análise do sinal da função afim.

Condição para invertibilidade da função afim

A função f(x) = ax + b é inversível em R se, e somente se, a != 0 (garantindo que seja bijetora).

Simetria da função inversa afim

O gráfico da função inversa f^(-1)(x) é a reflexão do gráfico de f(x) em relação à reta identidade y = x.

Ângulo agudo de inclinação (0 < theta < 90°)

Corresponde a tg(theta) > 0, indicando coeficiente angular positivo (a > 0) e reta crescente.

Ângulo obtuso de inclinação (90° < theta < 180°)

Corresponde a tg(theta) < 0, indicando coeficiente angular negativo (a < 0) e reta decrescente.

Significado de a = 0 na inclinação da reta

O ângulo de inclinação é 0°, indicando reta perfeitamente horizontal paralela ao eixo x.

Reta vertical x = c

Não representa uma função de x, pois um único valor de entrada x = c associa-se a infinitos valores de y.