Funções: Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras

Cartões · 20

Função Injetora (Injetiva)

Cada elemento do domínio é mapeado para um elemento distinto no contradomínio. Elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes (se f(a) = f(b), então a = b).

Função Sobrejetora (Sobrejetiva)

O conjunto imagem é igual ao contradomínio. Todos os elementos do contradomínio são imagem de pelo menos um elemento do domínio.

Função Bijetora (Bijetiva)

É simultaneamente injetora e sobrejetora. Cada elemento do contradomínio é imagem de exatamente um elemento do domínio.

Imagem de uma Função (Im(f))

Subconjunto do contradomínio formado por todos os valores que f(x) realmente assume para algum x do domínio.

Contradomínio de uma Função (CD(f))

Conjunto de chegada de uma função, contendo todos os valores possíveis que a função poderia teoricamente assumir.

Teste da Linha Horizontal (Injetora)

Uma função é injetora se qualquer linha horizontal intersectar o gráfico da função em no máximo um ponto.

Teste da Linha Horizontal (Sobrejetora)

Uma função f: R -> R é sobrejetora se qualquer linha horizontal intersectar o gráfico da função em pelo menos um ponto.

Teste da Linha Horizontal (Bijetora)

Uma função f: R -> R é bijetora se qualquer linha horizontal intersectar o gráfico da função em exatamente um ponto.

Função Inversa e Bijetividade

Uma função f possui uma função inversa f^-1 se, e somente se, f for uma função bijetora.

Diagrama de Venn (Função Injetora)

No diagrama, de cada elemento do domínio sai apenas uma seta e nenhum elemento do contradomínio recebe mais de uma seta.

Diagrama de Venn (Função Sobrejetora)

No diagrama, de cada elemento do domínio sai apenas uma seta e nenhum elemento do contradomínio fica sem receber seta.

Diagrama de Venn (Função Bijetora)

No diagrama, todo elemento do contradomínio recebe exatamente uma seta vinda do domínio.

Exemplo: f(x) = 2x em R -> R

Bijetora. É injetora (2a = 2b implica a = b) e sobrejetora (para todo y real, x = y/2 pertence ao domínio).

Exemplo: f(x) = x^2 em R -> R

Nem injetora nem sobrejetora. f(2) = f(-2) = 4 (não injetora) e números negativos não têm pré-imagem (não sobrejetora).

Exemplo: f(x) = x^2 em R -> [0, +infinito)

Sobrejetora, mas não injetora. O contradomínio foi restrito aos reais não negativos, igualando-se à imagem.

Exemplo: f(x) = x^3 em R -> R

Bijetora. Toda reta horizontal corta o gráfico de x^3 em exatamente um ponto.

Cardinalidade de Conjuntos Finitos (Injetora)

Se f: A -> B é injetora e A e B são finitos, então o número de elementos de A é menor ou igual ao de B (|A| <= |B|).

Cardinalidade de Conjuntos Finitos (Sobrejetora)

Se f: A -> B é sobrejetora e A e B são finitos, então o número de elementos de A é maior ou igual ao de B (|A| >= |B|).

Cardinalidade de Conjuntos Finitos (Bijetora)

Se f: A -> B é bijetora e A e B são finitos, então o número de elementos de A é estritamente igual ao de B (|A| = |B|).

Composição de Funções Bijetoras

A composição de duas funções bijetoras f e g também resulta em uma função bijetora.