Funções na Unicamp

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Função Afim (1º Grau)

f(x) = ax + b (com a diferente de 0). Gráfico: reta. Inclinação dada por a (taxa de variação) e intercepto em y dado por (0, b).

Coeficiente angular da função afim

Dado por a = (y2 - y1) / (x2 - x1). Define a taxa de crescimento (a > 0) ou decrescimento (a < 0) e a tangente do ângulo com o eixo x.

Raiz da função afim

x = -b / a. Ponto onde a reta intercepta o eixo horizontal x, no par ordenado (-b/a, 0).

Função Linear

f(x) = ax. Caso particular da função afim onde b = 0. Gráfico: reta que obrigatoriamente passa pela origem (0, 0).

Função Constante

f(x) = c (c constante). Gráfico: reta horizontal paralela ao eixo x, cortando o eixo vertical em (0, c). Não possui inclinação.

Função Quadrática (2º Grau)

f(x) = ax² + bx + c (com a diferente de 0). Gráfico: parábola com concavidade voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).

Vértice da parábola

V = (xv, yv), onde xv = -b / (2a) e yv = -delta / (4a). Representa o ponto de mínimo (a > 0) ou de máximo absoluto (a < 0).

Discriminante da função quadrática (Delta)

Delta = b² - 4ac. Se Delta > 0, duas raízes reais distintas; se Delta = 0, raiz real dupla (tangência); se Delta < 0, sem raízes reais.

Forma fatorada da quadrática

f(x) = a(x - r1)(x - r2), onde r1 e r2 são as raízes da função. Revela diretamente os pontos onde a curva cruza o eixo x.

Forma canônica da quadrática

f(x) = a(x - xv)² + yv. Explicita diretamente as coordenadas do vértice (xv, yv) e o eixo de simetria vertical x = xv.

Função Exponencial

f(x) = a^x (a > 0 e a diferente de 1). Gráfico: curva assimptótica ao eixo x (y = 0), interceptando o eixo y sempre em (0, 1).

Crescimento da função exponencial

Crescente se a base for a > 1; decrescente se 0 < a < 1. Imagem restrita aos reais estritamente positivos (y > 0).

Função Logarítmica

f(x) = log_a(x) (a > 0, a diferente de 1, x > 0). Gráfico: curva com assíntota vertical no eixo y (x = 0), cruzando x em (1, 0).

Crescimento da função logarítmica

Crescente para base a > 1; decrescente para 0 < a < 1. É a função inversa da função exponencial em relação à reta y = x.

Função Modular Básica

f(x) = |x|, valendo x para x >= 0 e -x para x < 0. Gráfico: formato de 'V' com vértice na origem (0, 0) e imagem y >= 0.

Equação modular f(x) = |ax + b|

Reflete a parte negativa da reta ax + b em torno do eixo x. O gráfico nunca fica abaixo do eixo das abscissas.

Função Inversa

f^(-1)(x), tal que f(f^(-1)(x)) = x para função bijetora. Gráfico: simétrico ao de f(x) em relação à reta bissetriz dos quadrantes ímpares (y = x).

Função Composta

f(g(x)), onde a saída da função interna g(x) serve como domínio da função externa f(x). Graficamente varia conforme a composição.

Função Racional Básica (Hipérbole)

f(x) = 1/x (x diferente de 0). Gráfico: hipérbole equilátera nos quadrantes I e III, com assíntota horizontal em y = 0 e vertical em x = 0.

Função Homográfica

f(x) = (ax + b) / (cx + d) com c != 0. Gráfico: hipérbole com assíntota vertical em x = -d/c e assíntota horizontal em y = a/c.

Função Seno

f(x) = sen(x). Domínio real, imagem [-1, 1], período 2pi. Gráfico senoidal passando por (0, 0), sendo uma função ímpar.

Função Cosseno

f(x) = cos(x). Domínio real, imagem [-1, 1], período 2pi. Gráfico cossenoidal com crista em (0, 1), sendo uma função par.

Transformações do seno: f(x) = A + B*sen(Cx + D)

A desloca verticalmente; |B| altera a amplitude; C muda o período para 2pi/|C|; -D/C representa o deslocamento de fase horizontal.

Função Tangente

f(x) = tg(x) = sen(x)/cos(x). Período pi, assíntotas verticais em x = pi/2 + k*pi. Gráfico contínuo por ramos que cobrem toda a reta real.

Função Par

f(-x) = f(x) para todo x do domínio. Gráfico: simetria axial perfeita em relação ao eixo vertical das ordenadas (eixo y).

Função Ímpar

f(-x) = -f(x) para todo x do domínio. Gráfico: simetria rotacional pontual de 180° em relação à origem (0, 0).

Função Injetora

Elementos distintos do domínio possuem imagens distintas: x1 != x2 implica f(x1) != f(x2). Graficamente, retas horizontais cortam a curva no máximo 1 vez.

Função Sobrejetora

O conjunto imagem é igual ao contradomínio (Im = CD). Graficamente, toda reta horizontal na faixa do contradomínio corta o gráfico pelo menos 1 vez.

Função Bijetora

É simultaneamente injetora e sobrejetora. Condição necessária e suficiente para que a função admita inversa f^(-1)(x).

Função Raiz Quadrada

f(x) = sqrt(x) para x >= 0. Gráfico: ramo superior de parábola deitada com vértice em (0, 0), estritamente crescente e côncava para baixo.

Função Cúbica Básica

f(x) = x³. Domínio e imagem em R, função ímpar e estritamente crescente. Gráfico passa pela origem com ponto de inflexão em (0, 0).

Polinômio de grau n

P(x) = an*x^n + ... + a0. Curva contínua e suave; possui no máximo n raízes reais e até n-1 pontos de mudança de direção (extremos locais).

Translação vertical de funções

y = f(x) + c. Desloca todo o gráfico verticalmente em c unidades: para cima se c > 0, para baixo se c < 0.

Translação horizontal de funções

y = f(x - c). Desloca todo o gráfico horizontalmente em c unidades: para a direita se c > 0, para a esquerda se c < 0.

Reflexão no eixo x

y = -f(x). Inverte o sinal de todas as ordenadas, espelhando o gráfico original simetricamente em torno do eixo horizontal x.

Reflexão no eixo y

y = f(-x). Inverte o sinal das abscissas, espelhando o gráfico original simetricamente em relação ao eixo vertical y.

Dilatação e compressão vertical

y = k*f(x). Estica verticalmente por um fator k se k > 1; comprime verticalmente em direção ao eixo x se 0 < k < 1.

Dilatação e compressão horizontal

y = f(k*x) com k > 0. Comprime o gráfico horizontalmente se k > 1; estica horizontalmente afastando do eixo y se 0 < k < 1.

Função Periódica

f(x + T) = f(x) para todo x, onde T é o menor período positivo. O formato do gráfico se repete identicamente a cada intervalo de comprimento T.

Função Maior Inteiro (Chão)

f(x) = [x], o maior inteiro menor ou igual a x. Gráfico em degraus (escada), descontínuo em todos os números inteiros.

Assíntota Vertical

Reta x = k onde a função diverge para +infinito ou -infinito quando x se aproxima de k. Indica indeterminação no domínio, comum em frações.

Assíntota Horizontal

Reta y = L para a qual os valores de f(x) tendem quando x cresce para +infinito ou decresce para -infinito.

Função Raiz Cúbica

f(x) = cbrt(x). Domínio e imagem em R, função ímpar. Gráfico em 'S' deitado, cruzando a origem com reta tangente vertical em (0, 0).

Função Valor Absoluto de f: y = |f(x)|

Mantém as partes onde f(x) >= 0 inalteradas e rebate as regiões negativas f(x) < 0 para cima em relação ao eixo x.

Função com módulo no argumento: y = f(|x|)

Elimina a parte para x < 0 e rebate a metade direita (x >= 0) simetricamente sobre o eixo y, tornando a função obrigatoriamente par.

Ponto de Inflexão

Ponto do gráfico onde o sentido da concavidade se inverte (de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa).

Função Logística (Curva S)

f(t) = L / (1 + e^(-k*t)). Modela crescimento populacional saturado. Gráfico sigmoide com assíntotas horizontais em y = 0 e y = L.

Interpretação gráfica da Inequação f(x) > g(x)

Intervalo no eixo x onde o traçado da curva f(x) se posiciona estritamente acima da curva g(x).

Pontos de interseção f(x) = g(x)

Abscissas obtidas pela resolução da equação f(x) - g(x) = 0. Representam os pontos exatos de cruzamento entre os dois gráficos no plano.

Taxa Média de Variação

Delta y / Delta x = [f(b) - f(a)] / (b - a). Graficamente representa a inclinação da reta secante que une os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).