Geometria: Triângulos

Cartões · 51

Soma dos ângulos internos de um triângulo

A + B + C = 180°, onde A, B e C representam as medidas dos três ângulos internos do triângulo.

Teorema do ângulo externo

e = A + B, onde e é a medida do ângulo externo e A e B são os dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Perímetro de um triângulo qualquer

P = a + b + c, onde a, b e c representam os comprimentos dos três lados do triângulo.

Semiperímetro de um triângulo

p = (a + b + c) / 2, onde p é o semiperímetro e a, b, c são os comprimentos dos lados.

Área padrão do triângulo (base e altura)

A = (b * h) / 2, onde b é a medida da base e h é a altura relativa a essa base.

Teorema de Pitágoras (triângulo retângulo)

a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b e c são os catetos do triângulo retângulo.

Relação métrica: produto dos catetos

b * c = a * h, onde b e c são catetos, a é a hipotenusa e h é a altura relativa à hipotenusa.

Relação métrica: quadrado da altura relativa à hipotenusa

h² = m * n, onde h é a altura relativa à hipotenusa e m e n são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Relação métrica: quadrado de um cateto

b² = a * m, onde b é o cateto, a é a hipotenusa e m é a projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

Relação métrica: soma das projeções

a = m + n, onde a é o comprimento da hipotenusa e m e n são as projeções dos catetos.

Relação entre altura e catetos no triângulo retângulo

1/h² = 1/b² + 1/c², onde h é a altura relativa à hipotenusa e b e c são os catetos.

Área de um triângulo retângulo pelos catetos

A = (b * c) / 2, onde b e c são as medidas dos dois catetos perpendiculares.

Altura de um triângulo equilátero

h = (l * √3) / 2, onde l é o comprimento do lado do triângulo equilátero.

Área de um triângulo equilátero

A = (l² * √3) / 4, onde l é a medida do lado do triângulo equilátero.

Fórmula de Heron para área

A = √[p(p - a)(p - b)(p - c)], onde p é o semiperímetro e a, b, c são os lados do triângulo.

Área usando dois lados e o ângulo entre eles (fórmula trigonométrica)

A = (a * b * sen(θ)) / 2, onde a e b são dois lados e θ é o ângulo formado entre eles.

Lei dos Cossenos

a² = b² + c² - 2bc * cos(A), onde a, b e c são lados e A é o ângulo oposto ao lado a.

Lei dos Senos

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R, onde a, b, c são lados, A, B, C são ângulos opostos e R é o raio da circunferência circunscrita.

Área em função do raio da circunferência inscrita (inraio)

A = p * r, onde p é o semiperímetro do triângulo e r é o raio do círculo inscrito.

Área em função do raio da circunferência circunscrita (circunraio)

A = (a * b * c) / (4R), onde a, b e c são os lados e R é o raio da circunferência circunscrita.

Raio da circunferência inscrita no triângulo equilátero

r = h / 3 = (l * √3) / 6, onde h é a altura e l é o lado do triângulo equilátero.

Raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero

R = 2h / 3 = (l * √3) / 3, onde h é a altura e l é o lado do triângulo equilátero.

Condição de existência de um triângulo (Desigualdade Triangular)

|b - c| < a < b + c, onde a, b e c são medidas dos três lados do triângulo.

Teorema das Bissetrizes Internas

c / m = b / n, onde a bissetriz divide o lado oposto em segmentos m e n adjacentes aos lados c e b.

Comprimento da bissetriz interna

s_a² = b * c - m * n, onde s_a é a bissetriz relativa ao lado a, e m e n são os segmentos determinados no lado a.

Teorema das Bissetrizes Externas

c / m' = b / n', onde m' e n' são as distâncias dos vértices ao ponto de encontro da bissetriz externa no prolongamento da base.

Comprimento da mediana (Teorema de Apolônio)

m_a = (1/2) * √(2b² + 2c² - a²), onde m_a é a mediana traçada ao lado a, e b e c são os outros dois lados.

Propriedade do baricentro sobre as medianas

AG = 2 * GM, onde G é o baricentro, A é o vértice e M é o ponto médio do lado oposto (proporção 2:1).

Mediana relativa à hipotenusa no triângulo retângulo

m_a = a / 2, onde m_a é a mediana que parte do ângulo reto e a é a hipotenusa.

Raio do círculo circunscrito ao triângulo retângulo

R = a / 2, onde a é a hipotenusa do triângulo retângulo.

Raio do círculo inscrito no triângulo retângulo

r = (b + c - a) / 2, onde b e c são os catetos e a é a hipotenusa.

Base média do triângulo

BM = b / 2, onde BM é o segmento que liga os pontos médios de dois lados e b é o lado paralelo a ele.

Razão de semelhança entre perímetros

P1 / P2 = k, onde P1 e P2 são os perímetros de dois triângulos semelhantes e k é a razão linear de semelhança.

Razão de semelhança entre áreas

A1 / A2 = k², onde A1 e A2 são as áreas de dois triângulos semelhantes e k é a razão de semelhança entre lados homólogos.

Teorema de Tales em triângulos

AD / DB = AE / EC, onde a reta paralela à base intercepta os lados AB e AC nos pontos D e E.

Teorema de Ceva (condição de concorrência)

(AF/FB) * (BD/DC) * (CE/EA) = 1, onde D, E e F são pontos sobre os lados BC, CA e AB cujas cevianas concorrem em um ponto.

Teorema de Menelaus (condição de colinearidade)

(AF/FB) * (BD/DC) * (CE/EA) = 1, onde uma reta transversal corta as retas suportes dos lados nos pontos D, E e F.

Teorema de Stewart

b² * m + c² * n = a(d² + m * n), onde d é o comprimento da ceviana que divide o lado a nos segmentos m e n.

Classificação quanto aos ângulos: Triângulo Acutângulo

a² < b² + c², onde a é o maior lado do triângulo e todos os ângulos internos são menores que 90°.

Classificação quanto aos ângulos: Triângulo Obtusângulo

a² > b² + c², onde a é o maior lado do triângulo e o ângulo oposto a ele é maior que 90°.

Classificação quanto aos ângulos: Triângulo Retângulo

a² = b² + c², onde a é o maior lado (hipotenusa) e o ângulo oposto a ele mede exatamente 90°.

Coordenadas do Baricentro no plano cartesiano

G = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3), onde (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são os três vértices do triângulo.

Área de triângulo por determinantes de coordenadas

A = |D| / 2, onde D é o determinante da matriz 3x3 formada pelas coordenadas dos vértices com terceira coluna unitária.

Fórmula da distância entre dois pontos (comprimento do lado)

d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²], onde (x1, y1) e (x2, y2) são as coordenadas das extremidades do lado.

Relação de Euler para distância entre circuncentro e incentro

d² = R(R - 2r), onde d é a distância entre circuncentro e incentro, R é o circunraio e r é o inraio.

Soma dos três ângulos externos de um triângulo

e1 + e2 + e3 = 360°, considerando um ângulo externo para cada vértice do triângulo.

Área em função dos raios ex-inscritos

A = r_a * (p - a), onde r_a é o raio do círculo ex-inscrito tangente ao lado a, e p é o semiperímetro.

Relação entre raio inscrito e raios ex-inscritos

1/r = 1/r_a + 1/r_b + 1/r_c, onde r é o raio inscrito e r_a, r_b, r_c são os raios dos três círculos ex-inscritos.

Soma das alturas e dos inversos dos raios ex-inscritos

1/h_a + 1/h_b + 1/h_c = 1/r, onde h_a, h_b, h_c são as alturas e r é o raio da circunferência inscrita.

Reta de Euler: distância entre ortocentro, baricentro e circuncentro

HG = 2 * GO, onde H é o ortocentro, G é o baricentro e O é o circuncentro, todos colineares.

Raio do Círculo de Nove Pontos (Círculo de Euler)

R_9 = R / 2, onde R_9 é o raio do círculo dos 9 pontos e R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.