Matemática ENEM

Cartões · 53

Área do Triângulo (Geral)

A = (b . h) / 2. Exemplo: Um terreno triangular com base de 10 m e altura de 6 m possui área igual a (10 . 6) / 2 = 30 m².

Área do Triângulo Equilátero

A = (l² . √3) / 4. Exemplo: Uma placa de trânsito equilátera com lado de 40 cm tem área de (1600 . √3) / 4 = 400√3 cm².

Área do Círculo

A = π . r². Exemplo: O piso de um coreto circular com raio de 3 m tem área de π . 3² = 9π m² (aprox. 28,26 m² com π = 3,14).

Comprimento da Circunferência

C = 2 . π . r. Exemplo: Uma pista circular de corrida com raio de 50 m tem volta completa medindo 2 . π . 50 = 100π metros.

Área do Trapézio

A = [(B + b) . h] / 2. Exemplo: Um lote trapezoidal com bases de 12 m e 8 m e altura de 5 m tem área de [(12 + 8) . 5] / 2 = 50 m².

Área do Losango

A = (D . d) / 2. Exemplo: Uma pipa em forma de losango com diagonais de 30 cm e 20 cm tem área de (30 . 20) / 2 = 300 cm².

Teorema de Pitágoras

a² = b² + c². Exemplo: Uma rampa de acessibilidade com base de 4 m e altura de 3 m tem comprimento de rampa igual a √(4² + 3²) = 5 m.

Volume do Paralelepípedo Retângulo

V = a . b . c. Exemplo: Uma caixa-d'água de 2 m de comprimento, 1,5 m de largura e 1 m de altura armazena 2 . 1,5 . 1 = 3 m³ (3000 L).

Volume do Cilindro

V = π . r² . h. Exemplo: Uma lata de refrigerante com raio da base de 3 cm e altura de 10 cm comporta π . 3² . 10 = 90π cm³.

Volume do Cone

V = (π . r² . h) / 3. Exemplo: Uma casquinha de sorvete de raio 3 cm e altura 12 cm comporta volume de (π . 9 . 12) / 3 = 36π cm³.

Volume da Pirâmide

V = (A_base . h) / 3. Exemplo: Uma pirâmide com base quadrada de lado 6 cm e altura 10 cm tem volume de (36 . 10) / 3 = 120 cm³.

Volume da Esfera

V = (4/3) . π . r³. Exemplo: Um balão esférico com raio de 3 dm possui volume de (4/3) . π . 27 = 36π dm³.

Área da Superfície da Esfera

A = 4 . π . r². Exemplo: O revestimento de couro para uma bola esférica de raio 10 cm exige 4 . π . 100 = 400π cm² de material.

Razão de Escala Linear

E = d / D. Exemplo: Se uma distância real de 5 km (500000 cm) mede 5 cm no mapa, a escala do mapa é 5/500000 = 1:100.000.

Razão entre Áreas e Escala

A_desenho / A_real = E². Exemplo: Em escala 1:100, se uma planta tem área de 2 cm², a área real é 2 . (100)² = 20000 cm² = 2 m².

Razão entre Volumes e Escala

V_modelo / V_real = E³. Exemplo: Em escala 1:10, uma maquete de 5 cm³ representa um volume real de 5 . (10)³ = 5000 cm³.

Média Aritmética Simples

M = (x1 + x2 + ... + xn) / n. Exemplo: Notas de um aluno 6, 7 e 8 geram média aritmética simples igual a (6 + 7 + 8) / 3 = 7,0.

Média Aritmética Ponderada

Mp = (∑ x_i . p_i) / ∑ p_i. Exemplo: Notas 6 (peso 2) e 9 (peso 3) geram média final [(6.2) + (9.3)] / (2 + 3) = 39 / 5 = 7,8.

Mediana de um Conjunto

Valor central com dados ordenados. Se n for par, média dos dois centrais. Exemplo: No rol {2, 4, 7, 9, 10}, a mediana é o termo central 7.

Moda Estatística

Elemento que aparece com maior frequência absoluta no conjunto. Exemplo: Nas idades {14, 15, 15, 16, 17}, a moda é 15 anos.

Desvio Padrão

DP = √(Variância). Mede a dispersão dos dados. Exemplo: Dois atletas com média 10 m, o que tiver menor desvio padrão é o mais regular.

Fórmula da Probabilidade Simples

P(A) = n(A) / n(S). Exemplo: A chance de tirar número par em um dado comum de 6 faces é 3/6 = 1/2 ou 50%.

Probabilidade da União de Eventos

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Exemplo: Tirar carta de espadas ou um Ás: 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13.

Probabilidade Condicional

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Exemplo: Probabilidade de um aluno ser do sexo feminino dado que foi aprovado na prova.

Fórmula da Combinação Simples

C(n, p) = n! / [p! . (n - p)!]. Exemplo: Quantas comissões de 3 membros podemos formar com 5 pessoas: C(5,3) = 10 comissões.

Fórmula do Arranjo Simples

A(n, p) = n! / (n - p)!. Exemplo: Disputa de pódio (1º e 2º lugar) entre 4 atletas: A(4,2) = 4! / 2! = 12 ordenações distintas.

Permutação Simples

P_n = n!. Exemplo: O número de maneiras distintas de organizar 5 livros em uma estante é P_5 = 5! = 120 filas diferentes.

Permutação com Repetição

P_n^(a,b) = n! / (a! . b!). Exemplo: Número de anagramas da palavra ARARA (5 letras, 3 A e 2 R) é 5! / (3! . 2!) = 10 anagramas.

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Total de modos = n1 . n2 . ... . nk. Exemplo: Montar um look com 3 camisas e 2 calças distintas oferece 3 . 2 = 6 combinações.

Juros Simples

J = C . i . t. Exemplo: Um empréstimo de R$ 1.000 a 2% a.m. por 3 meses rende juros de 1000 . 0,02 . 3 = R$ 60.

Montante em Juros Simples

M = C + J = C . (1 + i . t). Exemplo: Capital de R$ 500 aplicado por 2 anos a 10% a.a. resulta em 500 . (1 + 0,20) = R$ 600.

Montante em Juros Compostos

M = C . (1 + i)^t. Exemplo: Investimento de R$ 1.000 a 10% a.a. após 2 anos rende M = 1000 . (1,10)² = R$ 1.210.

Fórmula da Porcentagem

Valor = (p / 100) . Total. Exemplo: Um desconto de 15% em uma calça de R$ 200 equivale a 0,15 . 200 = R$ 30 de desconto.

Fator de Aumento Percentual

Fator = 1 + i. Exemplo: Um reajuste de 12% sobre o salário de R$ 3.000 eleva o valor para 3000 . 1,12 = R$ 3.360.

Fator de Desconto Percentual

Fator = 1 - i. Exemplo: Um produto de R$ 80 com desconto promocional de 25% custará 80 . (1 - 0,25) = 80 . 0,75 = R$ 60.

Termo Geral da PA

a_n = a_1 + (n - 1) . r. Exemplo: Em uma produção diária inicial de 50 itens que cresce 10/dia, no 8º dia serão 50 + 7 . 10 = 120 itens.

Soma dos Termos da PA

S_n = [(a_1 + a_n) . n] / 2. Exemplo: A soma das primeiras 10 parcelas de uma dívida de termos a1 = 10 e a10 = 100 é [(10 + 100) . 10] / 2 = 550.

Termo Geral da PG

a_n = a_1 . q^(n - 1). Exemplo: Uma colônia de 10 bactérias que triplica a cada hora terá na 4ª hora 10 . 3³ = 270 bactérias.

Soma da PG Finita

S_n = a_1 . (q^n - 1) / (q - 1). Exemplo: Para uma PG com a1 = 2 e razão q = 2, a soma de 4 termos é 2 . (16 - 1) / 1 = 30.

Soma da PG Infinita (|q| < 1)

S = a_1 / (1 - q). Exemplo: A soma infinita da sequência de passos 1/2, 1/4, 1/8... converge para (1/2) / (1 - 1/2) = 1.

Vértice da Parábola (Xv)

Xv = -b / (2a). Exemplo: O tempo para altura máxima de um projétil dado por h(t) = -5t² + 20t ocorre em t = -20 / (2 . (-5)) = 2 s.

Vértice da Parábola (Yv)

Yv = -Δ / (4a). Exemplo: O lucro máximo de L(x) = -x² + 6x - 5 ocorre com Yv = -(36 - 20) / (4 . (-1)) = -16 / -4 = 4 unidades monetárias.

Fórmula de Bhaskara

x = (-b ± √Δ) / (2a), onde Δ = b² - 4ac. Exemplo: Raízes de x² - 5x + 6 = 0 são x = (5 ± 1) / 2, resultando em x = 2 e x = 3.

Definição de Logaritmo

log_b(a) = c b^c = a (com a > 0 e b > 0, b ≠ 1). Exemplo: O pH de uma solução ácida é medido com logaritmo decimal: log10(100) = 2.

Propriedade do Produto dos Logaritmos

log(a . b) = log(a) + log(b). Exemplo: Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o log de 6 é calculado somando log(2 . 3) = 0,30 + 0,48 = 0,78.

Propriedade do Quociente dos Logaritmos

log(a / b) = log(a) - log(b). Exemplo: Para achar log 5 sabendo log 2 = 0,30, fazemos log(10 / 2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,30 = 0,70.

Propriedade da Potência do Logaritmo

log(a^k) = k . log(a). Exemplo: Se o decaimento radioativo gera log(2^t), podemos simplificar a expressão para t . log(2).

Relação Fundamental da Trigonometria

sen²(x) + cos²(x) = 1. Exemplo: Se sen(x) = 0,6 em um triângulo retângulo, cos²(x) = 1 - 0,36 = 0,64, logo cos(x) = 0,8.

Razões Trigonométricas Básicas

sen = cat. oposto/hip; cos = cat. adj/hip; tg = cat. oposto/cat. adj. Exemplo: Achar a altura de um prédio usando sombra de 10 m e tg(45°) = 1.

Lei dos Cossenos

a² = b² + c² - 2.b.c.cos(A). Exemplo: Para calcular o terceiro lado de um terreno triangular com lados 5 m, 7 m e ângulo de 60° entre eles.

Lei dos Senos

a / sen(A) = b / sen(B) = 2R. Exemplo: Calcular o raio do círculo circunscrito ou o lado oposto a um ângulo de 30° conhecendo outro par.

Relação de Euler para Poliedros

V - A + F = 2. Exemplo: Uma bola de futebol com 12 pentágonos e 20 hexágonos (32 faces) e 90 arestas tem V - 90 + 32 = 2 => V = 60 vértices.

Distância entre Dois Pontos no Plano

d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]. Exemplo: A distância no plano cartesiano do ponto A(1, 2) até B(4, 6) é √[(3)² + (4)²] = √25 = 5 unidades.