Geometria: Triângulos

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Triângulo Equilátero (lados)

Possui os três lados com medidas congruentes (iguais).

Triângulo Equilátero (ângulos)

Possui os três ângulos internos congruentes, cada um medindo exatamente 60°.

Triângulo Isósceles (lados)

Possui pelo menos dois lados com medidas congruentes.

Triângulo Isósceles (ângulos da base)

Os ângulos opostos aos lados congruentes (ângulos da base) são iguais.

Triângulo Escaleno (lados)

Possui todos os três lados com medidas diferentes entre si.

Triângulo Escaleno (ângulos)

Possui todos os três ângulos internos com medidas distintas.

Triângulo Acutângulo

Apresenta todos os três ângulos internos agudos (menores que 90°).

Triângulo Retângulo

Possui exatamente um ângulo interno reto (igual a 90°).

Triângulo Obtusângulo

Possui exatamente um ângulo interno obtuso (maior que 90° e menor que 180°).

Soma dos ângulos internos de um triângulo

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo no plano é sempre 180°.

Soma dos ângulos externos de um triângulo

A soma dos três ângulos externos (um por vértice) é sempre 360°.

Teorema do Ângulo Externo

A medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Condição de Existência de um Triângulo

Cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre eles.

Fórmula do Perímetro (P)

P = a + b + c, onde a, b e c representam os comprimentos dos três lados.

Fórmula do Semiperímetro (p)

p = (a + b + c) / 2

Fórmula Geral da Área do Triângulo

Área = (base * altura) / 2

Fórmula de Heron para Área

Área = raiz quadrada de [p * (p - a) * (p - b) * (p - c)], sendo p o semiperímetro.

Área usando Trigonometria (dois lados e ângulo)

Área = (a * b * sen(C)) / 2, onde C é o ângulo formado entre os lados a e b.

Altura do Triângulo Equilátero

h = (L * raiz de 3) / 2, onde L é a medida do lado.

Área do Triângulo Equilátero

Área = (L^2 * raiz de 3) / 4, onde L é o lado do triângulo.

Teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo: a^2 = b^2 + c^2, onde a é a hipotenusa e b, c são os catetos.

Hipotenusa

O maior lado de um triângulo retângulo, localizado oposto ao ângulo reto de 90°.

Catetos

Os dois lados menores de um triângulo retângulo que formam entre si o ângulo de 90°.

Relação Métrica: Produto dos catetos e hipotenusa

b * c = a * h, onde b e c são catetos, a é a hipotenusa e h é a altura relativa à hipotenusa.

Relação Métrica: Quadrado do cateto e projeção

b^2 = a * m e c^2 = a * n, onde m e n são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Relação Métrica: Quadrado da altura relativa

h^2 = m * n, onde m e n são as projeções dos catetos na hipotenusa.

Relação da Hipotenusa com as Projeções

a = m + n, sendo a a hipotenusa e m, n as projeções dos catetos.

Mediana de um triângulo

Segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Baricentro (G)

Ponto de encontro das três medianas; é o centro de gravidade do triângulo.

Propriedade do Baricentro

Divide cada mediana na razão 2:1, ficando a parte maior voltada para o vértice.

Bissetriz Interna

Semirreta que divide um ângulo interno em dois ângulos congruentes.

Incentro (I)

Ponto de encontro das três bissetrizes internas; centro da circunferência inscrita.

Propriedade do Incentro

Equidistante dos três lados do triângulo; seu raio toca tangencialmente os lados.

Área com Raio da Circunferência Inscrita (r)

Área = p * r, onde p é o semiperímetro e r é o raio da circunferência inscrita.

Mediatriz de um triângulo

Reta perpendicular a um lado que passa exatamente pelo seu ponto médio.

Circuncentro (O)

Ponto de encontro das mediatrizes dos lados; centro da circunferência circunscrita.

Propriedade do Circuncentro

Equidistante dos três vértices do triângulo.

Posição do Circuncentro no Triângulo Retângulo

Localiza-se exatamente no ponto médio da hipotenusa.

Área com Raio da Circunferência Circunscrita (R)

Área = (a * b * c) / (4 * R), onde a, b, c são lados e R é o circunraio.

Altura de um triângulo

Segmento perpendicular traçado a partir de um vértice até a reta suporte do lado oposto.

Ortocentro (H)

Ponto de encontro das três retas suportes das alturas do triângulo.

Ortocentro no Triângulo Retângulo

Localiza-se exatamente sobre o vértice do ângulo reto.

Ortocentro no Triângulo Obtusângulo

Localiza-se no exterior do triângulo.

Pontos Notáveis no Triângulo Equilátero

Baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro coincidem no mesmo ponto.

Base Média de um Triângulo

Segmento que une os pontos médios de dois lados; é paralela ao terceiro lado e mede metade dele.

Teorema das Bissetrizes Internas

A bissetriz divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes: c/b = x/y.

Lei dos Senos

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita.

Lei dos Cossenos

a^2 = b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos(A)

Critério de Classificação por Pitágoras (Obtusângulo)

Sendo a o maior lado: se a^2 > b^2 + c^2, o triângulo é obtusângulo.

Critério de Classificação por Pitágoras (Acutângulo)

Sendo a o maior lado: se a^2 < b^2 + c^2, o triângulo é acutângulo.

Mediana relativa à Hipotenusa

Em qualquer triângulo retângulo, a mediana que parte do ângulo reto mede metade da hipotenusa.

Triângulo Ótico (ou Ortomediano)

Triângulo cujos vértices são os pés das alturas do triângulo original.