Logaritmos

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Definição: log_b(a) = x

Equivale a b^x = a (com b > 0, b ≠ 1 e a > 0). Exemplo: log_2(8) = x -> 2^x = 8 -> 2^x = 2^3 -> x = 3.

Calcule: log_2(16)

2^x = 16 -> 2^x = 2^4 -> x = 4.

Calcule: log_3(81)

3^x = 81 -> 3^x = 3^4 -> x = 4.

Calcule: log_5(125)

5^x = 125 -> 5^x = 5^3 -> x = 3.

Calcule: log_10(1000)

10^x = 1000 -> 10^x = 10^3 -> x = 3.

Calcule: log_b(1)

Para qualquer base b válida, b^x = 1 -> b^x = b^0 -> x = 0.

Calcule: log_b(b)

Para qualquer base b válida, b^x = b -> b^x = b^1 -> x = 1.

Calcule: log_2(1/2)

2^x = 1/2 -> 2^x = 2^(-1) -> x = -1.

Calcule: log_3(1/9)

3^x = 1/9 -> 3^x = 3^(-2) -> x = -2.

Calcule: log_4(2)

4^x = 2 -> (2^2)^x = 2^1 -> 2^(2x) = 2^1 -> 2x = 1 -> x = 1/2.

Calcule: log_8(4)

8^x = 4 -> (2^3)^x = 2^2 -> 2^(3x) = 2^2 -> 3x = 2 -> x = 2/3.

Calcule: log_2(raiz quadrada de 2)

2^x = 2^(1/2) -> x = 1/2.

Calcule: log_3(raiz cúbica de 9)

raiz cúbica de 9 = (3^2)^(1/3) = 3^(2/3) -> 3^x = 3^(2/3) -> x = 2/3.

Propriedade: log_b(m * n)

Regra do produto: log_b(m) + log_b(n). Exemplo: log_2(4 * 8) = log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 5.

Propriedade: log_b(m / n)

Regra do quociente: log_b(m) - log_b(n). Exemplo: log_3(81 / 9) = log_3(81) - log_3(9) = 4 - 2 = 2.

Propriedade: log_b(m^k)

Regra da potência (regra do peteleco): k * log_b(m). Exemplo: log_2(4^3) = 3 * log_2(4) = 3 * 2 = 6.

Propriedade: b^(log_b(k))

Identidade exponencial: resulta no próprio argumento k. Exemplo: 5^(log_5(7)) = 7.

Propriedade: log_(b^n)(a)

Potência na base: (1/n) * log_b(a). Exemplo: log_8(2) = log_(2^3)(2) = (1/3) * log_2(2) = 1/3.

Fórmula de mudança de base

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b). Exemplo: log_4(8) = log_2(8) / log_2(4) = 3 / 2 = 1,5.

Condição de existência de log_(x-1)(5)

A base deve ser positiva e diferente de 1: x - 1 > 0 -> x > 1, e x - 1 ≠ 1 -> x ≠ 2. Solução: x > 1 e x ≠ 2.

Condição de existência de log_3(2x - 6)

O logaritmando deve ser estritamente positivo: 2x - 6 > 0 -> 2x > 6 -> x > 3.

Dado log(2) = 0,30, calcule log(4)

log(4) = log(2^2) = 2 * log(2) = 2 * 0,30 = 0,60.

Dado log(2) = 0,30 e log(3) = 0,48, calcule log(6)

log(6) = log(2 * 3) = log(2) + log(3) = 0,30 + 0,48 = 0,78.

Dado log(2) = 0,30, calcule log(5)

log(5) = log(10 / 2) = log(10) - log(2) = 1 - 0,30 = 0,70.

Dado log(2) = 0,30, calcule log(20)

log(20) = log(2 * 10) = log(2) + log(10) = 0,30 + 1 = 1,30.

Dado log(3) = 0,48, calcule log(27)

log(27) = log(3^3) = 3 * log(3) = 3 * 0,48 = 1,44.

Dado log(2) = 0,30 e log(3) = 0,48, calcule log(1,5)

log(1,5) = log(3 / 2) = log(3) - log(2) = 0,48 - 0,30 = 0,18.

Dado log(2) = 0,30, calcule log(raiz quadrada de 2)

log(2^(1/2)) = (1/2) * log(2) = 0,30 / 2 = 0,15.

Resolva: log_2(x) = 5

Pela definição: x = 2^5 -> x = 32.

Resolva: log_3(2x + 1) = 2

2x + 1 = 3^2 -> 2x + 1 = 9 -> 2x = 8 -> x = 4 (satisfaz 2x + 1 > 0).

Resolva: log_5(x^2 - 11) = 2

x^2 - 11 = 5^2 -> x^2 - 11 = 25 -> x^2 = 36 -> x = 6 ou x = -6 (ambos válidos).

Resolva: log_2(x) + log_2(x - 2) = 3

log_2(x(x - 2)) = 3 -> x^2 - 2x = 2^3 -> x^2 - 2x - 8 = 0 -> (x - 4)(x + 2) = 0. Como x > 2, x = 4.

Resolva: log(x + 3) - log(x) = 1

log((x + 3)/x) = 1 -> (x + 3)/x = 10^1 -> x + 3 = 10x -> 9x = 3 -> x = 1/3.

Resolva: 2^(x) = 10 (use log(2) = 0,30)

Aplica log: log(2^x) = log(10) -> x * log(2) = 1 -> x * 0,30 = 1 -> x = 1 / 0,30 ≈ 3,33.

Resolva: (log_2(x))^2 - 3*log_2(x) + 2 = 0

Faça y = log_2(x): y^2 - 3y + 2 = 0 -> y = 1 ou y = 2. Logo, log_2(x)=1 -> x=2; log_2(x)=2 -> x=4.

Resolva a inequação: log_2(x) < 3

Como a base 2 > 1, mantém o sinal: x < 2^3 -> x < 8. Pela existência (x > 0): 0 < x < 8.

Resolva a inequação: log_(1/2)(x) >= 2

Como a base 0 < 1/2 < 1, inverte o sinal: x <= (1/2)^2 -> x <= 1/4. Pela existência (x > 0): 0 < x <= 1/4.

Aplicação: Fórmula do pH

pH = -log[H+]. Se [H+] = 10^(-5) mol/L -> pH = -log(10^(-5)) = -(-5) = 5 (solução ácida).

Aplicação: Calcule o pH se [H+] = 2 * 10^(-4) (log 2 = 0,3)

pH = -log(2 * 10^(-4)) = -(log 2 + log 10^(-4)) = -(0,3 - 4) = -(-3,7) = 3,7.

Aplicação: Escala Richter (magnitude M)

M = (2/3) * log(E / E0). Cada aumento de 1 ponto na magnitude multiplica a energia liberada por cerca de 31,6 (10^(3/2)).

Aplicação: Decibéis (nível sonoro)

N = 10 * log(I / I0). Se a intensidade I dobra: N = 10 * log(2) ≈ 10 * 0,30 = 3 dB de aumento.

Aplicação: Meia-vida com logaritmo

N(t) = N0 * (1/2)^(t / T). Para achar t quando resta 10%: log(0,1) = (t/T)*log(0,5) -> t = T * [log(0,1) / log(0,5)].

Aplicação: Juros compostos e tempo

M = C*(1 + i)^t -> 2C = C*(1,1)^t -> 1,1^t = 2 -> t = log(2) / log(1,1) para dobrar o capital a 10% a.a.

O que é logaritmo natural (ln)?

É o logaritmo cuja base é a constante de Euler (e ≈ 2,718): ln(x) = log_e(x). Exemplo: ln(e^5) = 5.

Calcule: ln(1 / e)

ln(1 / e) = ln(e^(-1)) = -1 * ln(e) = -1 * 1 = -1.

Calcule: log_0,1(100)

(0,1)^x = 100 -> (10^(-1))^x = 10^2 -> 10^(-x) = 10^2 -> -x = 2 -> x = -2.

Calcule: log_(raiz de 3)(9)

(3^(1/2))^x = 3^2 -> 3^(x/2) = 3^2 -> x/2 = 2 -> x = 4.

Simplifique: log_2(6) - log_2(3)

log_2(6 / 3) = log_2(2) = 1.

Simplifique: log(25) + log(4)

log(25 * 4) = log(100) = log_10(10^2) = 2.

Calcule o valor de: 3^(2 * log_3(5))

3^(log_3(5^2)) = 3^(log_3(25)) = 25 (pela propriedade da identidade exponencial).