Logaritmos

Cartões · 51

Definição de logaritmo

log_b(a) = x se, e somente se, b^x = a (com a > 0, b > 0 e b ≠ 1).

Condição de existência da base (b)

A base b deve ser estritamente positiva e diferente de um (b > 0 e b ≠ 1).

Condição de existência do logaritmando (a)

O logaritmando a deve ser estritamente positivo (a > 0).

Logaritmo de 1 em qualquer base b

log_b(1) = 0, pois b^0 = 1.

Logaritmo da própria base

log_b(b) = 1, pois b^1 = b.

Logaritmo de uma potência da base

log_b(b^k) = k, pois a potência da base resulta no próprio expoente.

Potência com logaritmo no expoente

b^(log_b(a)) = a, como consequência direta da definição de logaritmo.

Logaritmo do produto

log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y).

Logaritmo do quociente

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y).

Logaritmo de uma potência

log_b(x^k) = k · log_b(x).

Logaritmo de uma raiz

log_b(raiz n-ésima de x) = (1/n) · log_b(x).

Fórmula de mudança de base

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b), onde c é uma nova base válida.

Inversão entre base e logaritmando

log_b(a) = 1 / log_a(b).

Expoente na base do logaritmo

log_(b^k)(a) = (1/k) · log_b(a).

Propriedade da potência na base e no logaritmando

log_(b^k)(a^m) = (m/k) · log_b(a).

Logaritmo decimal

Logaritmo cuja base é 10, habitualmente grafado apenas como log(x).

Logaritmo natural ou neperiano

Logaritmo cuja base é o número de Euler e, denotado por ln(x).

Valor de ln(e)

ln(e) = 1.

Valor de ln(1)

ln(1) = 0.

Valor de log(10)

log(10) = 1.

Valor de log(100)

log(100) = 2, pois 10^2 = 100.

Valor de log(0,1)

log(0,1) = -1, pois 10^(-1) = 0,1.

Logaritmo binário

Logaritmo cuja base é 2, frequentemente denotado como lb(x) ou ld(x).

Propriedade da comutação da potência no logaritmo

a^(log_b(c)) = c^(log_b(a)).

Igualdade entre logaritmos de mesma base

Se log_b(x) = log_b(y), então x = y.

Função logarítmica crescente

f(x) = log_b(x) é estritamente crescente se a base b > 1.

Função logarítmica decrescente

f(x) = log_b(x) é estritamente decrescente se 0 < b < 1.

Domínio da função logarítmica real f(x) = log_b(x)

Conjunto dos números reais estritamente positivos: (0, +∞).

Imagem da função logarítmica real f(x) = log_b(x)

Conjunto de todos os números reais: R.

Interseção com o eixo x da função f(x) = log_b(x)

Ocorre no ponto coordenado (1, 0), pois log_b(1) = 0.

Assíntota vertical da função f(x) = log_b(x)

A reta x = 0 (o próprio eixo y).

Comportamento quando x tende a 0 pela direita (b > 1)

lim_(x -> 0+) log_b(x) = -∞.

Comportamento quando x tende a +∞ (b > 1)

lim_(x -> +∞) log_b(x) = +∞.

Comportamento quando x tende a 0 pela direita (0 < b < 1)

lim_(x -> 0+) log_b(x) = +∞.

Comportamento quando x tende a +∞ (0 < b < 1)

lim_(x -> +∞) log_b(x) = -∞.

Função inversa da função logarítmica f(x) = log_b(x)

A função exponencial f^(-1)(x) = b^x.

Desigualdade logarítmica com b > 1

log_b(x) > log_b(y) equivale a x > y (mantém o sentido da desigualdade).

Desigualdade logarítmica com 0 < b < 1

log_b(x) > log_b(y) equivale a x < y (inverte o sentido da desigualdade).

Derivada de ln(x)

d/dx [ln(x)] = 1 / x, para x > 0.

Derivada de log_b(x)

d/dx [log_b(x)] = 1 / (x · ln(b)).

Derivada de ln(u(x)) pela regra da cadeia

d/dx [ln(u(x))] = u'(x) / u(x).

Integral indefinida de 1/x

Integral de (1/x) dx = ln|x| + C.

Integral indefinida de ln(x)

Integral de ln(x) dx = x · ln(x) - x + C.

Definição do logaritmo natural via integral

ln(x) = Integral de 1 até x da função (1/t) dt, para x > 0.

Cologaritmo

colog_b(a) = -log_b(a) = log_b(1/a).

Característica de um logaritmo decimal

A parte inteira do valor do logaritmo na base 10.

Mantissa de um logaritmo decimal

A parte decimal não negativa (compreendida entre 0 e 1) do logaritmo na base 10.

Produto em cadeia de logaritmos

log_b(a) · log_c(b) = log_c(a).

Ciclo de três logaritmos em cadeia

log_b(a) · log_c(b) · log_a(c) = 1.

Logaritmo do inverso multiplicativo

log_b(1/a) = -log_b(a).

Logaritmo na base inversa

log_(1/b)(a) = -log_b(a).